¿Ayuda con Ejercicio de Álgebra?
A ver si alguien me puede ayudar con este ejercicio de Álgebra. Se los re agradecería. .D
Dadas las rectas r: (x,y,z) = t(1,1,2) y s: (x,y,z) = (1,k,0) + L(lambda) (2,1,0)
• Hallar el valor de "k" para que las rectas sean coplanares y encontrar el plano que las contiene.
1 Respuesta
Maggie Targaryen!
Dos rectas en el espacio son coplanares si se cortan en n puntos o si son paralelas.
Paralelas no son porque los vectores (1,1,2) y (2,1,0) no son proporcionales, luego deberemos hacer que se corten en un punto.
Yo suelo usar los parámetros t y s, dejame que los use
Si hay un punto (xo, yo, zo) común deben existir vos valores t y s tales que
(xo, yo, zo) = t(1,1,2) = (1,k,0) + s(2,1,0)
esto no s proporciona tres ecuaciones
t = 1 + 2s
t = k+s
2t=0 ==> t=0
sustituimos t=0 en la primera
0 =1 + 2s
2s=-1
s=-1/2
y sustituimos t y s en la segunda
0=k -1/2
k=1/2
Luego k=1/2 y las rectas son
r: (x,y,z) = t(1, 1, 2)
s: (x,y,z) = (1, 1/2, 0) + t(2,1,0)
El plano que las contiene podemos definirlo por un punto cualquiera y los dos vectores.
El punto más sencillo es (0,0,0) que pertenece claramente a la primera con t=0. Pero además también pertebece a la segunda y es el punto donde se cortan.
Conocerás la forma de calcular la ecuación del plano como un determinante, en la primera fila x-xo, y-yo, z-zo y en las otras dos los vectores
| x y z |
| 1 1 2 | = x(1·0-2·1) -y(1·0-2·2) + z(1·1-1·2) = -2x+4y-z= 0
| 2 1 0 |
Me gusta más ponerlo como
2x - 4y + z =0
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Podemos probar que contiene las dos rectas
2t - 4t + 2t = 0
2(1+2t) - 4(1/2 + t) + 2(0) = 2+4t -2-4t = 0
Luego está bien.
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