¿Por qué en los espacios duales las funciones lineales son de la forma a1x + a2x2 + ... + anxn?
Hola Valero buenas tardes.
He estado estudiando cada letra desde el principio de Algebra Lineal, Suma directa, base dual, aniquiladores, etc. Pero en el espacio dual las funciones pueden ser integrales, trazas de matrices, etcétera, mientras sean lineales. Pero a veces veo que usan la de a1x + a2x2 + ... + anxn cuando usan la base del espacio Vectorial (evaluando cada vector como debe de ser). Pero no sé porque usan la función de esa forma, ¿acaso será porque es única esa forma? Quizás de otra forma ya no sería una función lineal o algo por el estilo? Lo que si sé es que existe sólo una única función lineal que cumple las condiciones de ei(ej) es igual a uno si i = j, o cero si son diferentes, pero lo anterior es lo que no he podido entender.
Espero su gran ayuda. Saludos.
1 respuesta
Sin escribir como a mano es muy difícil (imposible) saber si esos nújmeros son subíndices o exponentes. SI me dices el libro y página donde has visto esa notación sería lo mejor.
Ten en cuenta que un espacio vectorial no solo es R^n que es que más acostumbrado estamos, puede ser un espacio de polinomios, de funciones, entonces una aplicación lineal de un espacio de estos en su cuerpo puede contener polinomios, funciones, etc.
Pero mejor dime libro y página junto con la explicación porque no entiendo lo que quieres decir.
Sabemos que la función
$$\begin{align}&f(x_1,x_2,...,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n\end{align}$$es sólo un ejemplo de una función lineal. Esta viene como ejemplo en la página 96 del PDF A. Lineal - K. Hoftman.
Muchas veces nos piden encontrar la base dual de una base de espacio vectorial V = R^n. Usamos la definición de que los funcionales deben cumplir ei(ej) = uno o cero (dependiendo de si i = j o diferentes), pero en estos casos de R^n usan solamente funciones de la forma que puse arriba. Mi duda era el por qué usar esta forma y no otra, pero en ese mismo ejercicio 18 viene la explicación del porque es la única forma para Fn, aunque no le entiendo, ya que dicen que aj = f(ej). ¿Podría explicarme desde esa parte hasta el final?
Espero su gran ayuda.
Tenemos el espacio vectorial F^n donde F es un cuerpo.
Y tenemos una función
f : F^n -------> F
f(x1,x2, ...., xn) = a1·x1 + a2·x2 + an·xn
Todo son subíndices
(X1, x2, ..., xn) es un vector de F^n,
A1, a2, ..., an son escalares del cuerpo F
Y esa es la única forma de conseguir que la función f sea lineal, como pongas cuadrados, senos o cualquier otra casas no será una función lineal.
La matriz asociada a esta función lineal es
[a1 a2 ... an]
Sabemos que una matriz contiene por columnas las imagenes de una base del conjunto origen respecto de la base del conjunto imagen.
Considerando que la base del espacio origen F^n es la canónica
e1 = (1, 0, ... ,0)
e2 = (0, 1, ..., 0)
e3 = (0, 0, 1,...0)
....
en = (0, 0, ..., 1)
Y la base del espacio imagen F es {1}, el número 1, el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo, lo que tenemos es que cada elemento de la matriz es la imagen del elemento correspondiente de la base, así
f(e1) = a1
f(e2) = a2
....
f(en) = an
Como toda aplicacion lineal se puede definir por su matriz respecto una base origen y una base imagen, si tomamos siempre esas dos bases que hemos tomado, todas los funcionales se podrán expresar por una matriz de 1xn de F, a matrices iguales funcionales iguales, a matrices distintas funcionales distintos.
Y así todo funcional tiene que tener la forma
f(x1,x2,...,xn) = a1·x1+ a2·x2 + ...+ an·xn
donde f(ej)=aj ya que
f(ej) = f(0,0, ...1, ...0,0) = a1·0 + a2·0+...+aj·1+ ...an·0 = aj
Y eso es todo.
