Utilización del teorema de Taylor

Amo Mo!

El teorema de Taylor dice que dada una función f(x) derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n+1 veces en el abierto (a, x) se puede expresar como

$$\begin{align}&f(z)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(z-a)^i+\int_a^z \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(z-t)^ndt\\ &  \\ &  \text{Para la función }e^z \text{ con a=0 todas las derivadas son 1 y quedará}\\ &  \\ &  e^z=\sum_{i=0}^n \frac{z^i}{i!}+\int_0^z \frac{e^t}{n!}(z-t)^ndt\\ &  \\ &  \end{align}$$

Ese desarrollo con la integral que es menos usado se ha extraido de la Wikipedia donde dice que sirve para seríes de Taylor de variable compleja.
Y lo que habría que demostrar es que el último término tiende a cero cuando n tiende a infinito. Haremos uso de la fórmula de Stirling que nos da una expresión equivalente a n! Cuando n tiende a infinito.

$$\begin{align}&\left|\lim_{n\to\infty} \int_0^z \frac{e^t}{n!}(z-t)^ndt\right|=\\ &\\ &\left|\lim_{n\to\infty} \int_0^z \frac{e^t(z-t)^n}{\sqrt{2\pi n}\;\left(\frac ne  \right)^n}dt\right| \le\\ &\\ &\left|\lim_{n\to\infty} \int_0^z \frac{e^zz^n}{\sqrt{2\pi n}\;\left(\frac ne  \right)^n}dt\right| =\\ &\\ &\left|\frac{e^z}{\sqrt{2\pi}}\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac {ze}{n}\right)^n\int_0^z  dt\right| =\\ &\\ &\left|\frac{e^z}{\sqrt{2\pi}}\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac {ze}{n}\right)^nz\right| =\\ &\\ &\left|\frac{e^z}{\sqrt{2\pi}}·\frac{1}{\infty}·0^{\infty}· z \right|=\\ &\\ &\left|\frac{e^z}{\sqrt{2\pi}}·0·0^{\infty}· z \right|=0\\ &\\ &\text{ya que z es finito}\\ &\end{align}$$

Bueno, la demostración no ha estado muy bien pero es que no se puede hacer más, el editor se atasca con tanta fórmula.  En algun momento los módulos de fuera tendrían que haber entrado dentro del límite pero no encontré el momento.

Y eso es todo, la serie es:

$$\begin{align}&e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\end{align}$$