Calculo de integrales

No son malas por impropias sino por racionales.

Descomponemos el denominador en factores

     1  0  0  1
-1     -1  1 -1
     ----------
     1 -1  1 |0

x³+1=(x+1)(x²-x+1)

El segundo factor es irreducible en los números reales.

De acuerda con la teoría la descomposición es esta

$$\begin{align}&\frac{1}{x^3+1}= \frac{a}{x+1}+ \frac{b+cx}{x²-x+1}=\\ &\\ &\\ &\frac{ax²-ax+a+bx+b+cx²+cx}{x³+1}=\\ &\\ &\\ &\frac{(a+c)x²+(-a+b+c)x +a+b}{x³+1}\\ &\\ &\text{El numerador de+e ser el polinomio 1, luego}\\ &a+c=0 \implies a=-c\\ &-a+b+c=0 \implies b=-2c\\ &a+b=1 \implies -3c=1 \\ &c=-1/3\\ &a=1/3\\ &b=2/3\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac{1}{x^3+1}dx=\frac 13 \int_0^{\infty}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{2-x}{x²-x+1}\right)dx\end{align}$$

El primer sumando es sencillo de integrar, pero el segundo no.

Vamos a hacer aparte el segundo sumando.

Consiste en dividirlo en la suma de una función racional cuya integral sea un logaritmo neperiano y otra función cuya integral un arcotangente. Ambas tendrán el mismo denominador común, luego solo debemos separar adecuadamente el numerador en dos partes.

La parte de numerador correspondiente al logaritmo debe ser tal que sea la derivada del denominador por una constante y se coma completamente el termino de la x. Con ello para el arcotangente quedará solo una constante que es lo que hace falta.

Veamos cómo se hace esto

El numerador es 2-x

El denominador x²-x+1

La derivada del denominador es 2x-1

Luego multiplicamos por -2 el numerador dentro de la integral y delante de ella multiplicamos por -1/2

El nuevo numerador es 2x-4

La función que se integrará como logaritmo neperiano toma 2x-1 y para el arcotangente quedará -3

¡Que revolución, vamos a ver como queda todo después de esto! Por cierto, de momento haremos solo la indefinida, que es un lio con la definida y daría valores infinitos por el camino.

$$\begin{align}&I=\frac 13\int\left(\frac{1}{x+1}+\frac{2-x}{x^2-x+1}  \right)dx=\\ &\\ &\\ &\frac {ln|x+1|}{3}+\frac 13 \int \frac{2-x}{x^2-x+1}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac {ln|x+1|}{3}-\frac 16\int \frac {(2x-1)dx}{x^2-x+1}+\frac 12 \int \frac {dx}{x^2-x+1}=\\ &\\ &\frac {ln|x+1|}{3}-\frac{ln|x^2-x+1|}{6}+\frac 12 \int \frac{dx}{\left(x-\frac 12  \right)^2+\frac 34}\\ &\end{align}$$

Como puedes ver, ya completé cuadrados en el denominador, eso es imprescindible para integrar arcotangentes y muchas más cosas, supongo que sabrás hacerlo, si no me lo preguntas.

Y ahora todos los esfuerzos irán encaminados a dejar la función en la forma

c·u'(x) / (1+[u(x)]²)

cuya integral será

c·arctg[u(x)]

Lo siento pero el problema es largo y no puedo dar todos los pasos y explicarlos, alguna vez habrá saltos que deberás entenderlos o comprobarlos aparte.

$$\begin{align}&I=\frac 16 ln \left|\frac{(x+1)^2}{x²-x-1}  \right|+\frac 12·\frac 43 \int \frac{dx}{\frac 43\left[\left(x- \frac 12 \right)^2+\frac 34 \right]}=\\ &\\ &\\ &\frac 16 ln \left|\frac{x²+2x+1}{x²-x-1}  \right|+\frac 23 \int \frac{dx}{\left(\frac {2x-1}{\sqrt 3}  \right)^2+1}=\\ &\\ &\text{Habría que multiplicar por }\frac{2}{\sqrt 3} \text{dentro de la}\\ &\text{integral para que se exacta, luego fuera por }\frac{\sqrt 3}{2}\\ &\\ &\\ &\frac 16 ln \left|\frac{x²+2x+1}{x²-x-1}  \right|+\frac 23·\frac{\sqrt 3}{2}arctg \left(\frac{2x-1}{\sqrt 3}   \right)+C\\ &\\ &\text{Y rápidamente calculamos la definida.}\\ &\text{El ángulo con tangente infinita es }\pi\2\\ &\\ &\\ &\frac 16 ln \,1+\frac{\sqrt 3}{3}·\frac{\pi}{2}-\frac 16 ln \,1- \frac{\sqrt 3}{3}arctg \left(\frac{-1}{\sqrt 3}\right)=\\ &\\ &\frac{\sqrt 3}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)=\frac{2 \sqrt 3 \;\pi}{9}\approx1.209199576\end{align}$$

Y eso es todo. Aprende bien de este ejemplo porque otros tan complicados no los voy a hacer o los dejaré solo planteados o iré directamente a la solución. No es que sean muy difíciles, pero se hace insufrible escribirlo con el ordenador, se atasca con este editor por llamarlo de alguna forma y acaba al ritmo de la tortuga perdiendo tiempo y tiempo.

valeroasm pues mas o menos pero donde dejaste el -3 del arcotangente, no lo veo en el ejercicio:

El nuevo numerador es 2x-4
La función que se integrará como logaritmo neperiano toma 2x-1 y para el arcotangente quedará -3 y como llegaste a ln ((x+1)^2/ x^2-x-1? creo que el denominador es x^2 +x-1 y el numerador es x+1

te equivocaste, creo

Ya te dije que me ahorraría algunos pasos porque escribirlo todo es un martirio.

$$\frac 13 \int \frac{2-x}{x^2-x+1}dx=$$

Debe descomponerse en la suma de dos, la primera de ellas estará preparada para comerse la x y de manera que el numerador sea la derivada del denominador.

Para prepararla para eso te explique el método que era multiplicar dentro por -2 y fuera por -1/2, deben hacerse las dos cosas para que no alteremos la integral

$$\begin{align}&-\frac 16\int \frac {2x-4}{x^2-x+1}dx=\\ &\\ &\\ &-\frac 16\int \frac {2x-1}{x^2-x+1}dx +\frac 16 \int \frac{3}{x^2-x+1}=\end{align}$$

Ya hemos conseguido descompónerla del modo que queríamos, la primera integral es inmediata y con la segunda aun tendremos q

¡Qué asco, cuantas veces se manda sola la respuesta, espera!