Relacion inifinitesimal al analisis
Sea la sucesión de funciones
$$\begin{align}&{f_n }\end{align}$$
con
$$\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} & \text{ si } x\in(\frac{1}{n},1] \\ 0 & \text{ si } x\in[0,\frac{1}{n}] \end{cases}$$
Demuestre que es Lebesgue integrable y calcule su integral
$$\begin{align}&\int _{[0,1]} f_n d\mu\end{align}$$
Sugerencia Haga la comparacion de la Integral de Riemann y la integral de Lebesgue
Todos los ejercicios que te puse ahora te di los pdfs de analisis ii apoyate en ellos un poco saludos
1 respuesta
Mat cdr!
Una función definida y acotada en un intervalo [a,b] es integrable Riemann si y solo si el conjunto de los puntos de discontinuidad tiene medida 0.
Aqui cada función fn solo tiene un punto de discontinuidad, el punto x=1/n luego es integrable Riemann y la integral es:
$$\begin{align}&\int_0^1f_n(x)dx = \int_0^{\frac 1n}0dx+\int_{\frac 1n}^1 \frac {dx}{\sqrt x}=\\ &\\ &0 + \sqrt x|_{1/n}^1= 1-\sqrt{\frac 1n}\end{align}$$Y cuando n tiende a infinito la integral tiende a 1
Y hay un teorema que dice que si existe la integral de Riemann entonces la función es integrable Lebesgue y los valores coinciden.
Y eso es todo.
Mat Cdr!
Estoy muy agradecido con tu puntuación. Solo te pediría que hicieses el agradecimiento en esta pregunta y alguna otra si no lo has hecho, eso supone unos poquitos más para un servidor.
