Problema aplicación integrales
Tienes idea de como plantear y resolver el siguiente problema?
Me imagino que se tendrá que resolver con algún tipo de integral definida, pero no se como plantearlo.
Ademas eso de que (t) no es un numero de horas normal, sino k son las horas transcurridas desde el mediodía no lo entiendo muy bien.
¿Y lo de que pide la velocidad media? ¿Eso se refiere a que hay k utilizar integración no?
1 Respuesta
El mediodía son las 12 horas. Entonces t=0 serán las 12horas, t=2 las 14 horas y t = 4 las 16 horas
Luego si tomamos t = 2 tendremos la velocidad del trafico a las 14 y con t=4 la velocidad a las 16.
Podrías calcular la velocidad media sumando una cuantas y dividiendo por el número de ellas. Ya puestos a hacerlo bien podrías tomar las velocidades a intervalos regulares y calcular el límite cuando el número de mediciones tiende a infinito.
$$\begin{align}&vm(2,4) = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n v \left( 2+\frac{2i}{n} \right )\\ &\\ &\\ &\text {con }t_i \in [2, 4]\\ &\\ &\text {y la integral definida entre 2 y 4 sería}\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n v \left ( 2+\frac{2i}{n} \right )\end{align}$$Como puedes ver, la única diferencia entre la velocidad media y la integral es que la velocidad media es la integral dividida por 2. En general la velocidad media será la integral dividida por la la longitud del intervalo (que va medido en tiempo)
Calculamos por tanto la integral entre 2 y 4 de la función v(t)
$$\begin{align}&\int_2^4(2t^3-22t^2+60t+20)dt =\\ &\\ &\\ &\left [ \frac{t^4}{2} - \frac{22t^3}{3}+30t^2 +20t \right ]_2^4 =\\ &\\ &\frac{4^4}{2}-\frac{22·4^3}{3}+30·4^2 +20·4 -\frac{2^4}{2}+\frac{22·2^3}{3}-30·2^2 -20·2 =\\ &\\ &128-\frac{1408}{3}+480+80 -8+\frac{176}{3}-120-40 =\\ &\\ &520 -\frac{1232}{3} =\frac{1560-1232}{3}=328/3\end{align}$$La velocidad media es eso dividido entre 2
vm(2 ,4) = (328/3)/2 = 328/6 = 164/3 = 54,666...km/h
Y eso es todo.
El problema lo he entendido, lo único es que al final a la hora de sacar la velocidad media no se el porque se divide por 2.
Es por la diferencia entre las horas (limites entre los que se ha integrado) 4-2=2 ??
Si fuera entre un intervalo mayor de horas lo tendría que dividir por un numero mayor??
O siempre se divide por 2?
Si, hay que dividir la integral entre el número de horas, si fueran 10 entre 10, si fueran 0.01 horas entre 0.01
En la media cada paso mide 1/n porque la media es por definición la suma de n mediciones dividida entre n.
Mientras que en la integral cada intervalo mide
(Longitud del intervalo de integración)/n
Que en este caso es 2/n
Las mediciones son exactamente las mismas, en número y en los puntos escogidos, luego la única diferencia es que la media esta multiplicada por (1/n) y la integral por (2/n) que simplificando aun más, la primera esta multiplicada por 1 y la integral por 2. La integral es el doble que la media. Si nos hubieran dicho la media entre las 14 y las 18 habría que dividir por 4.
