Raíz racional de un polinomio
Alguien me podría explicar como determinar la raíz del siguiente polinomio, utilizando el teorema de las raíces racionales y división sintética:
-42+71x-31x^2+x^3+x^4
1 respuesta
Perla Rodriguez!
El teorema de las raíces racionales dice que en un polinomio con coeficientes enteros
Donde an y ao son distintos de cero, si existe una raíz racional r=p/q con p y q primos entre si, entonces p es un divisor de ao y q es un divisor de an
En este caso
x^4 + x^3 - 31x^2 + 71x - 42
p es divisor de -42, luego puede ser
p={1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, - 6, 7, -7}
q={-1, 1}
Las combinaciones p/q son todas números enteros, los mismos que hemos puesto para p
Y ahora habría que ir probando con la división sintética. Pero la división sintética solo se hace bien en una pizarra, ya que es un proceso de probar y tachar y eso aquí no se puede hacer. Luego tendremos que conformarnos con el teorema del resto y una vez hallada una raíz si que usaremos la división sintética para rebajar un grado al polinomio.
El teorema del resto dice que si r es una raíz entonces P(r) = 0
Probemos con el 1
1^4 + 1^3 - 31·1^2 + 71·1 - 42 = 1 + 1 - 31 +71 - 42 = 0
A la primera hemos acertado, ya tenemos la primera raíz) dividimos entre (x-1) por división sintética (también conocida como regla de Ruffini)
1 1 -31 71 -42 1 1 2 -29 42 ----------------------- 1 2 -29 42 | 0
Nos queda el polinomio
x^3 + 2x^2 - 29x + 42 = 0
El coeficiente de mayor grado es 1 y el de menor 42, los mismos de antes, luego los candidatos son los mismos. Hay que volver a probar con 1, ya que podría ser una raíz doble
1^3 + 2·1^2 - 29·1 + 42 = 1 + 2 - 29 + 42 = 16 no sirve
(-1)^3 + 2(-1)^2 - 29(-1) + 42 = -1+2+29+42 = 72 no sirve
2^3 +2·2^2 -29·2 + 42 = 8+8-58+42 = 0
Luego 2 es la segunda raíz
1 2 -29 42 2 2 8 -42 ------------------ 1 4 -21 |0
Ahora queda el polinomio
x^2 + 4x - 21 = 0
Podríamos calcular las raíces con la fórmula, pero vamos a seguir con esto
Ahora los posibles valores para las raíces son divisores de -21
p = {1, -1, 3, -3, 7, -7}
El -1 y 1 no hay que probarlos pues ya fueron probados antes y no daban ninguna raíz más que la dio el 1 al principio, luego probemos con el 3
3^2 + 4·3 -21 = 9 + 12 - 21 = 0
Esta es la tercera ráiz, el 3
1 4 -21 3 3 21 ---------- 1 7 |0
Y ya solo queda
x + 7 = 0
x=7
Luego las cuatro raíces son:
{1, 2, 3, -7}
Y la factorización sería (x-1)(x-2)(x-3)(x+7)
Disculpa me perdí en donde hiciste la dicision sintética. ¿Me podrías explicar como la hiciste?
La división sintética sirve para dividir un polinomio entre (x-a)
Arriba se ponen los coeficientes del polinomio empezando por el de grado mayor `pero no del todo a la izquierda, si falta algún termino hay que poner un cero en es lugar. En la segunda a la izquierda del todo se pone el número a
En la línea siguiente se pone una linea horizontal. Y en la línea siguiente se pone el coeficiente primero debajo de donde estaba
Por ejemplo, para el polinomio
(3x^3 - x + 1)/(x-2)
Habría que poner
3 0 -1 1 2 ---------------------- 3
Ahora lo que se va a hacer todo el rato es multiplicar el número de la izquierda por el de más a la derecha de abajo, ese resultado se pone el la segunda fila en la posicion siguiente y en la tercera se suman los dós números de arriba.
Asi el siguiente paso es este
3 0 -1 1 2 6 ---------------------- 3 6
hemos multiplicado 2·3=6 lo hemos puesto debajo del 0 y hemos sumado los dos números.
En el paso siguiente haremos lo mismo con el 6
3 0 -1 1 2 6 12 ---------------------- 3 6 11
Y en siguiente con el 11
3 0 -1 1 2 6 12 22 ---------------------- 3 6 11 |23
El último número de la tercera fila a laizquierda es el resto. Si es cero significa que la disvisión es exacta y entonces el polinomio era divisible por (x-2). Eso ya lo viste antes, ahora te he puesto un caso normal donde el resto es distinto de 0, es 23
Y el cociente se obtiene de los otros números de la tercera fila, cada uno llevara la x elevada a un número menos que el polinomio de arriba. Como el polinomio de arriba era de grado 3, empezaremos por el 2 y el cociente es
3x^2 + 6x + 11
Es decir, por el teorema de la división
Dividendo = divisor · cociente+ resto tendríamos
3x^3 - x + 1 = (x-2)(3x^2+6x+11) + 23
puedes comprobarlo si quieres
Cuando el resto es cero entonces decimos que el dividendo es divisible por (x-a), por ejemplo en el ejercicio obtuviste
x^4 + x^3 - 31x^2 + 71x - 42 = (x-1)(x^3 + 2x^2 - 29x + 42)
por lo cual el polinomio valdra cero si
x-1=0
x=1
Y 1 es una raíz del polinomio.
Y eso es todo.
¿Perla, sabes que se puede votar excelente?
¿Eres consciente de que tal vez el experto que ha dedicado tanto tiempo a contestar tu pregunta no quiera contestarte más preguntas si no votas excelente?
Y otra pregunta. ¿En la división sintética siempre debe quedar 0 al ultimo?
No, como has visto en el caso que te he puesto el final era 23. Pero cuando el número de la izquierda es una raíz del polinomio entonces queda 0.
Por eso el método que te decían de usar la división sintética era probarla con los candidatos, cuando no te daba cero borrabas todos los números menos la primera fila y el primero de la tercera y ponías el siguiente candidato. Probabas candidatos hasta que el resto era 0, entonces ese candidato era raíz del polinomio y tomabas el cociente y repetiás el proceso.
Pero eso se puede hacer en una pizarra y en directo, en página web es díficil de hacerlo salvo que se filme un video. Por eso yo averiguaba cuando era 0 el resto por el teorema del resto.
Con división sintética el proceso completo se haría con unas debajo de otras y sería así.
1 1 -31 71 -42 1 1 2 -29 42 ----------------------- 1 2 -29 42 | 0 2 2 8 -42 ------------------ 1 4 -21 |0 3 3 21 ------------ 1 7 |0 -7 -7 ------ 1 | 0
Pero entre medias habría que haber borrado mucho números, ya que en la segunda división habríamos probado primero con 1 y -1 y luego el 2 que es el correcto. Y en la tercera habríamos probado primero con el 2 y luego el -2 y despueés el 3 que es el bueno. Esto es solo el aspecto final que quedaría después de haber acertado con las taíces que son las que queda a la izquierda.
{1, 2, 3, -7}
Y eso es todo.
