Descomponer en irreducibles el polinomio

El teorema de la raíz racional dice que las raíces racionales de la ecuación polinómica:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+.....+a_1x +a_0 = 0$$

donde los coeficientes ai son enteros y an y a0 son distintos de 0, tienen la forma +- p/q donde p es un factor de a0 y q un factor de an

Entonces si la ecuación es

2x^5+x^4+5x^3-x^2+x-1 = 0

las soluciones racionales posibles son

1/1, -1/1, 1/2 y -1/2

Es cuestión de ir probando hasta dar con alguna de ellas o no.

para 1

2+1+5-1+1-1=7

para -1

-2+1-5-1-1-1=-9

para (1/2)

1/16 + 1/16 + 5/8 - 1/4 + 1/2 -1 = (1+1 + 10 - 4 + 8 -16)/16 = 0

Luego x=1/2 es raíz

Y ahora dividimos por (x-1/2) por Ruffini

      2   1   5   -1   1   -11/2       1   1    3   1    1      ------------------------      2   2   6    2   2  | 0

Luego de momento tendríamos

P(x) = (x - 1/2)(2x^4+2x^3+6x^2+2x+2) =

2(x - 1/2)(x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 1)

Ahora usaremos la regla de signos de Descartes que dice el número de raíces positivas del polinomio es el número de veces que cambia el signo de un coeficiente al siguiente o ese número disminuido en un número par

En el polinomio

q(x) = x^4+x^3+3x^2+x+1

No hay ningún cambio de signo en los coeficientes, luego no hay raíces positivas

Y las raíces negativas se siguen ese mismo criterio aplicado al polinomio que se obtiene cambiando x por -x

q(-x) = x^4 - x^3 + 3x^2 - x + 1

¡Vaya, hay cuatro cambios de signo! Podría haber 4 raíces reales, 2 o ninguna

Veamos si con la derivada podemos encontrar intervalos de crecimiento decrecimiento y mínimo

q(x) = x^4+x^3+3x^2+x+1

q'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 6x +1

Se puede comprobar que no tiene raíces racionales. Pues a falta de una teoría superior usaré el programa Máxima.

allroots(4*x^3 + 3*x^2 + 6*x +1)

Y da

x=-0.17884590208334,

x=1.147299951729168*%i - 0.28557704895833,

x=-1.147299951729168*%i - 0.28557704895833

No sé porque extraña razón pone los números complejos con la parte imaginaria delante.

Bueno el caso es que la derivada solo tiene un cero, luego solo hay un extremo relativo, que tratándose de q(x) un polinomio de grado 4 significa que ese extremo relativo es ún mínimo, puesto que los valores en +- infinito son +infinito y el único punto con derivada cero es el mínimo.

Y si calculamos el valor del polinomio en el mínimo tenemos

q(-0.17884590208334) = 0.912414223627

Luego el mínimo es positivo, eso significa que el polinomio q(x) es siempre positivo y por lo tanto no tiene raíces reales.

Entonces tenemos que la descomposición en polinomios irreducibles sobre Q es

p(x) = 2(x - 1/2)(x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 1)

Sobre la descomposición en C nada te puedo decir salvo que las raíces dadas por Máxima son

x=0.5

x=0.63250217921901*%i - 0.14840294359835

x=-0.63250217921901*%i - 0.14840294359835

x=1.49852758300345*%i - 0.35159705640165

x=-1.49852758300345*%i - 0.35159705640165

Pero la expresión real con radicales no sé como se puede obtener.

Bueno, encontré esto sobre la forma de resolver la ecuación cuártica

1. Original equation in general form:x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d

2. Calculate q, r, and s:q = 3a^2/8 - 3a^2/4 + br = -a^3/16 + 3a^3/16 - ba/2 + cs = a^4/256 - a^4/64 + ba^2/16 - ac/4 + d

3. Solve the cubic equation for one real root:z^3 + 2qz^2 + (q^2 - 4s)z - r^2 = 0k = sqrt(z)

4. Calculate l and m:m = (k^2 + q + r/k)/2l = (k^2 + q - r/k)/2

5. Replace in k, l, m and solve the quadratic equations:(y^2 + ky + l)(y^2 - ky + m) = 0

6. Find the original unknown:x = y - a/4

Pero es bastante complicado e incluso incluye el resolver una ecuación cúbica que tampoco es moco de pavo. Luego a falta de una teoría mejor no lo hacemos.

Y queda la descomposición en Z7.

Aquí el número posible de raíces es 7, luego siempre se podrían hallar las raíces a mano

p(x) = 2x^5+x^4+5x^3-x^2 + x -1

p(1) = 2+1+5-1+1-1= 7

7 congruente con 0 (mod 7)

Luego 1 es la primera raíz

Aplicamos Ruffini teniendo en cuenta que en Z7 el -1 es 6. Usaré el símbolo ~para la congruencia módulo 7

     2    1    5    6   1   61         2    3    1   0   1        -------------------------     2    3   8~1  7~0  1  7~0

La descomposición teniendo en cuenta que (x-1) es x+6

p(x) = (x+6)(2x^4+3x^3 +x^2 +1)

de nuevo vemos que el 1 es raíz del segundo factor

2+3+1+1 = 7 ~ 0

     2   3   1   0    11        2   5   6    6     ------------------     2   5   6   6   7~0

p(x) = (x+6)(x+6)(2x^3 + 5x^2 + 6x + 6)

Veamos el valor para x=1 de último factor

2+5+6+6 = 17 ~ 3 (mod 7)

Se acabó lo bueno

Probamos con x= 2

16+20+12+6 = 54 ~ 6 (mod 7)

con x=3

54 + 45 + 18 + 6 = 123 que no es divisible por 7

con x=4

128+80+24+6 = 238 = 34 · 7

Luego x=4 es otra raíz

 2 5 6 64 8 24 8 ----------------- 2 13~6 30~2 14~0

Y la descomposición va quedando teniendo en cuenta que x-4 = x+3 en módulo 7

p(x) = (x+6)(x+6)(x+3)(2x^2+6x+2) = 2(x+6)(x+6)(x+3)(x^2+3x+1)

No se porque me temo que ya no hay más raíces

1+3+1 = 5

4+6+1 = 11 ~ 4

9+9+1 = 19 ~ 5

16+12+1 = 29 ~ 1

25+15+1 = 41 ~ 6

36+18+1 = 55 ~ 6

Luego la descomposición en Z7 en polinomios irreducibles es

p(x) = 2(x+6)(x+6)(x+3)(x^2+3x+1)

Como comprobación usaremos Máxima de nuevo

radcan(2*(x+6)*(x+6)*(x+3)*(x^2+3*x+1));

da como resultado

2*x^5+36*x^4+236*x^3+678*x^2+792*x+216

Que vamos a poner en módulo 7

36 ~ 1 (mod 7)

236 = 33·7+ 5 ~ 5 (mod 7)

678 = 96·7 + 6 ~ 6 ~ -1 (mod 7)

792 = 113·7+1 ~ 1 (mod 7)

216 = 30·7 + 6 ~ 6 ~ -1 (mod 7)

Con lo que el producto que hemos calculado sería congruente con

2x^5 + x^4 + 5x^3 - x^2 + x -1

Que es el polinomio original y está bien la descomposición que hicimos.

Y eso es todo lo que yo puedo hacer. Si tuviera la teoría delante podría hacer más o mejor.