Distribucion de porbabilidad multinomal 5.119
5.119 Un experimento de aprendizaje requiere que una rata corra por un laberinto (una red de pasillos) hasta
que localice una de tres posibles salidas. La salida 1 presenta una recompensa de alimento, no así las
salidas 2 y 3. (Si la rata finalmente selecciona la salida 1 casi siempre, puede tener lugar el aprendizaje.)
Denote con Yi el número de veces que la salida i es seleccionada en corridas sucesivas. Para lo siguiente,
suponga que la rata escoge una salida aleatoriamente en cada corrida.
a Encuentre la probabilidad de que n = 6 corridas resulte en Y1 = 3, Y2 = 1 y Y3 = 2.
B Para n general, encuentre E(Y1) y V(Y1).
C Encuentre Cov(Y2, Y3) para n general.
D Para comprobar la preferencia de la rata entre las salidas 2 y 3, podemos buscar en Y2 – Y3. Encuentre
E(Y2 − Y3) y V(Y2 − Y3) para n general.
1 Respuesta
a) El número posible de casos es combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 6 en 6
CR(3,6) = 3^6 = 729
De ellos los que tienen 3 veces la salida 1, 1 vez la 2 y 2 veces la 3 son permutaciones con repetición de 6 elementos con repeticióes 3, 1 y 2
PR(6; 3,1,2) = 6! / (3!·1!·2!) = 720 /(6·1·2) = 720/12 = 60
Luego la probabilidad es casos favorables entre posibles
P = 60 / 729 = 20 / 243 = 0.08230452675
b) Esta distribución de probabilidad se llama multinomial. Para calcular la esperanza de Y1 puedes considerarla como una binomial en la que Y1 es el acierto y Y2 y Y3 son el fallo. Sera una binomial B(n, 1/3)
Entonces la esperanza de una binomial X = B(n,p) es:
E(X) = np
y aplicado eso a la multinomial será
E(Y1) = n·(1/3) = n/3
Para la varianza hacemos lo mismo, la varianza de una binomial es
V(X) = n·p(1-p)
Luego
V(Y1) = n·(1/3)·(2/3) = n(2/9) = 2n/9
c) Esto sería bastante difícil de hacer, pero aprovecharemos que el teorema 5.13 nos lo dice y lo demuestra todo
Cov(Y2,Y3) = - n·P(Y2)·P(Y3) = -n(1/3)(1/3) = -n/9
d) Y2 y Y3 son dos variables iguales, indistingibles, igualemente distribuidas e independientes
E(Y2-Y3) = E(Y2) - E(Y3) = n/3 - n/3 = 0
V(Y2-Y3) = E([(Y2-Y3)-E(Y2-Y3)]^2)=
E([(Y2-Y3) - 0]^2) =
E[(Y2-Y3)^2] =
E[(Y2)^2] + E[(Y3)^2] - 2E(Y2·Y3) =
V(Y2) + [E(Y2)]^2 + V(Y3) + [E(Y3)]^2 - 2[Cov(Y2,Y3)+E(Y2)·E(Y3)]=
2n/9 +(n/3)^2 + 2n/9 + (n/3)^2 -2[-n/9 + (n/3)(n/3)] =
4n/9 + 2n^2 / 9 + 2n/9 - 2n^2 / 9 =
4n/9 + 2n/9 = 6n/9 = 2n/3
Y eso es todo.
