Estadística matemática con aplicaciones 8
37) en 2003, el promedio de calificación combinada del examen scholastic aptitude test (SAT) (matemáticas y verbal) para estudiantes que van a la Universidad en Estados Unidos fue 1026. Suponga que aproximadamente 45% de todos los graduados de preparatoria hizo este examen y que 100 egresados de preparatoria se seleccionan al azar de entre todos los egresados en Estados Unidos. De las siguientes variables aleatorias, ¿cuál tiene una distribución que puede ser aproximada por una distribución binomial? Siempre que sea posible, de los valores n y p.
a) El numero de estudiantes que hizo el SAT
b) Las calificaciones de los 100 estudiantes de la muestra
c)El numero de estudiantes de la muestra que obtuvo calificaciones arriba del promedio del SAT
d)El tiempo necesario para que cada estudiante terminara el SAT
e) El numero de egresadas (mujeres) de preparatoria de la muestra
38) el fabricante de una bebida láctea de bajo contenido de calorías desea comparar el atractivo del gusto de una nueva formula (formula B) con el de la formula estándar (formula A). A cada uno de cuatro jueces se les dan tres vasos en orden aleatorio, dos de ellos cont la formula A y el otro con la formula B. A cada uno de los jueces se les pide indicar cual vaso fue el que disfruto mas. Suponga que las dos formulas son igualmente atractivas. Sea Y el numero de jueces que indican una preferencia por la nueva formula.
a) Encuentre la funcion de probabilidad para Y
b) ¿Cuál es la probsbilidad de que al menos tre de los cuattros jueces indique una preferencia por la nueva formula?
c) Encuentre el valor esperado de Y
d) Encuentre la varianza de Y
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1 Respuesta
37)
Es la respuesta c: el número de estudiantes que obtuvo calificaciones arriba del promedio del SAT
N = 100
P = 0,5
Se supone que el numero de estudiantes que tienen puntuación por arriba o por abajo es más o menos el mismo
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38) La fórmula de probabilidad binomial es
a)
P(z) = (n sobre z)(p^z)(1-p)^(n-z)
Eso indica la probabilidad de que el suceso ocurra exactamente z veces.
La probabilidad de elegir la nueva fórmula de bebida es 1/3
Los jueces son 4 luego n = 4
Vamos a aplicarla
P(0) =(4 sobre 0)·(1/3)^0 ·(2/3)^4 = 1·1·16/81 = 16/81
P(1) = (4 sobre 1)(1/3)·(2/3)^3 = 4·(1/3)(8/27) = 32/81
P(2) = (4 sobre 2)(1/3)^2·(2/3)^2 = 6(1/9)(4/9) = 24/81
P(3) = (4 sobre 3)(1/3)^3·(2/3) = 4(1/27)(2/3) = 8/81
P(4) = (4 sobre 4)(1/3)^4·(2/3)^0 = 1·1/81·1 = 1/81
Comprobamos que 16+32+24+8+1 = 81 y la suma de probabilidades será 1, eso es buena señal de que lo hemos hecho bien.
b)
Será la suma de probabilidades de 3 y 4
P(Al menos tres les guste la nueva) = 8/81 + 1/81 = 9/81 = 1/9
c) El valor esperado es el sumatorio de los valores por sus probabilidades respectivas
E(Y) = 0·16/81 + 1·32/81 + 2·24/81 + 3·8/81 + 4·1/81 =
(1/81)(32 + 48 + 24 + 4) =
108/81 = 4/3 = 1,333....
d) La varianza es el valor esperado de (Y-media)^2
V(Y) = (16/81)(0-4/3)^2 + (32/81)(1-4/3)^2 + (24/81)(2-4/3)^2 + (8/81)(3-4/3)^2 + (1/81)(4-4/3)^2 =
(16/81)(16/9) + (32/81)(1/9) + (24/81)(4/9) + (8/81)(25/9) + (1/81)(64/9) =
(1/729)(256 + 32 + 96 + 200 + 64) =
648/729 = 8/9 = 0,888...
Y eso es todo.
