Distribución de probabilidad multinomial
5.125 Cuando se inspeccionan aviones comerciales, las grietas en alas se reportan como no existentes, detectables o críticas. La historia de una flota particular indica que 70% de los aviones inspeccionados no tienen grietas en las alas, 25% tienen grietas detectables en las alas y 5% tienen grietas críticas en las alas. Se seleccionan aleatoriamente cinco aviones. Encuentre la probabilidad de que
a) Uno tenga una grieta crítica, dos tengan grietas detectables y dos no tengan grietas,
b) al menos un avión tenga grietas críticas.
1 Respuesta
La formula para la probabilidad conjunta de k variables binomiales Y1, Y2,..., Yk, con parametros n, p1, p2, ..., pk es
$$\begin{align}&p(y_1,...,y_k)= \frac{n!}{y_1!y_2!···y_k!}p_1^{y_1}·p_2^{y_2}···p_k^{y_k}\\ &\\ &Llamemos:\\ &Y_1= \text{aviones \sin grietas}\\ &Y_2=\text{aviones con grietas detectables}\\ &Y_3=\text{aviones con grietas críticas}\\ &\\ &\\ &a) \\ &p(2,2,1) =\frac{5!}{2!·2!·1!}(0.7)^2·(0.25)^2·(0.05)^1=\\ &\\ &\frac{120}{4}·0.49·0.0625·0.05=0.0459375\end{align}$$b)
Dejamos aparcada la multinomial y consideramos solo una binomial con p=0.05
La probabilidad de que alguno tenga grietas criticas es 1 menos la probabiliad de que sean 0
$$\begin{align}&1-P(0) = 1-\binom 50(0.05)^0·(0.95)^5=\\ &\\ &1- 0.95^5 = 1 - .7737809375 = 0.22622190625\end{align}$$Y eso es todo.
