Problema con derivadas parciales
Hola Angel
Tengo una nueva duda con otro problema. ¿Puedes ayudarme?
Sea la función
. Se pide el valor de la derivada parcial con respecto a 
, 
, en el punto (1.7, 5.4). La variable 
no tiene unidades y las unidades de son radianes.
1 Respuesta
Tenemos que calcular la derivada respecto de y de f(x, y), considerando la x como una constante.
Supongo que sabrás las reglas de derivación y las derivadas inmediatas más usuales, un de ellas es:
$$\begin{align}&\left(\frac{1}{u(x)}\right)' = -\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}\\ &\\ &\text{que puedes ver que sigue la norma general}\\ &\\ &(u^{-1}(x))'= -1·u^{-2}(x)·u'(x)= \frac{u'(x)}{u^2(x)}\end{align}$$Simplemente hay una diferencia en la notación. La que pone el exponente entre la función y la variable es muy útil pues nos ahorra cientos de paréntesis y queda todo más despejado.
Pues aplicamos esa regla a la función f(x, y) pero derivando respecto de y con la x constante
$$\begin{align}&f(x,y)=\frac{1}{2-sen(xy)}\\ &\\ &\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}= - \frac{-\cos(xy)·x}{[2-sen(xy)]^2}=\frac{x·\cos(xy)}{[2-sen(xy)]^2}\\ &\\ &\frac{\partial f(1.7,\,5.4)}{\partial y}= \frac{1.7\,·\,\cos(1.7\,·\,5.4)}{[2-sen(1.7\,·\,5.4)]^2}=\\ &\\ & \frac{1.7\,·\,\cos(9.18)}{[2-sen(9.18)]^2}\approx-0.5338717551\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias! No había caído en resolverla como derivada inmediata y al hacerla como una derivada fraccionaria el desarrollo era más largo y no me daba el resultado.
Con tu explicación me lo has dejado claro. Intentaré resolver el resto de los ejercicios.
Tampoco tendría que darte mayor problema resolverla como derivada fraccionaria. Simplemente tienes el extra en el numerador de la derivada de la derivada del numerador de la función por el denominador de la función sin derivar, pero como el numerador es 1, su derivada es 0 y ese término desaparace quedando lo mismo que si lo haces como derivada inmediata.
Yo me conozco esa regla porque he hecho miles de derivadas y me resulta útil, pero no sería ningún problema hacerlo con la regla de la derivada del cociente de funciones.
