Buen día, necesito ayuda para resolver el siguiente problema que involucra métricas.

Atom Valenz!

Quizá sea mucho trabajo.

Deben cumplirse estas propiedades

1) d(x,y) >= 0

2) d(x,y) = 0 <==> x=y

3) d(x,y) = d(y,x)

4) d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z)

Eso para cualesquiera x, y, z € E1xE2

Y debemos apoyarnos en que d1 y d2 las cumplen

a)

1)  d(x,y) es el máximo de dos números no negativos luego es no negativo

2) Si d(x,y)=0 <==> d1(x1,y1) = d2(x2,y2) = 0 ==> x1=y1 ^ x2=y2 <==> x=y

3) Obvio ya que d1 y d2 son simétricas

d(x,y) = max[d1(x1,y1), d2(x2,y2)] = max[d1(y1,x1), d2(y2,x2)]  = d(y,x)

4) d(x,z) = max[d1(x1,z1), d2(x2,z2)] <= max [d1(x1,y1)+d1(y1,z1), d2(x2,y2)+d2(y2,z2)] <=

max[d1(x1,y1), d2(x2,y2)] + max[d1(y1,z1), d2(y2,z2)] = d(x,y) + d(y,z)

luego en resumen

d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z)

Luego es una métrica

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b)

1) d(x, y) es suma de dos números no negativos, luego es no negativa

2) La suma de dos números no negativos solo puede ser 0 si ambos son cero

d(x,y)=0  <==> d1(x1,y1) = d2(x2,y2)=0 <==> x1=y1 ^ x2=y2  <==> x=y

3) Es obvia la dejo como ejercicio

4) d(x,z) = d1(x1,z1) + d2(x2,z2) <= d1(x1,y1) + d(y1,z1) + d2(x2,y2)+ d2(y2,z2) =

simplemente reordenamos parq ue se vea más claro

= [d1(x1,y1) + d2(x2,y2)] + [d(y1,z1) + d2(y2,z2)] = d(x,y) + d(y,z)

en resumen

d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z)

Luego es una métrica

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c)

1) Una raíz cuadrada es siempre no negativa

2) Esa raíz solo puede ser 0 si el radicando es 0. Y el radicando tiene dos números al cuadrado que son no negativos, luego tandrán que ser 0 ambos cuadrados y tendrán que ser 0 las raíces cuadradas de ambos luego

d1(x1,y1) =d2(x2,y2) = 0 <==> x1=y1 ^ x2=y2  <==> x=y

3) Obvio ya que d1 y d2 son simétricas

$$\begin{align}&\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}=\sqrt{d_1(y_1,x_1)^2+d_2(y_2,x_2)^2}\end{align}$$

4)

$$\begin{align}&d(x,z)=\sqrt{d_1(x_1,z_1)^2+ d2(x_2,z_2)^2}\le\\ &\\ &\sqrt{[d_1(x_1,y_1)+d_1(y_1,z_1)]^2+ d_2(x_2,y_2)+d_2(y_2,z_2)]^2}\le\\ &\\ &\end{align}$$

Ahora no me sale, tengo que dejarlo, cuando se me ocurra algo lo termino.