Comprobación de espacio vectorial
De los siguientes conjuntos determine cuales son espacios vectoriales, en caso que no sean diga que propiedades (axiomas) no se cumplen:
El conjunto de todas las ternas de números reales (x,y,z) con las operaciones (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) y k(x,y,z)=(x,ky,kz).
El conjunto de las ternas de números reales (x,y,z) con las operaciones (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+y2, y1+x2, z1+z2) y k(x,y,z) = (kx, ky, kz).
El conjunto de todos los pares de números reales (x,y) con las operaciones (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2) y k(x,y) = (2kx, 2ky).
El conjunto de pares de números reales (x,y) con las operaciones (x1,y1) + (x2, y2)=(x1+x2+1, y1+y2+1) y k(x,y) = (kx, ky).
1 Respuesta
1) La suma es la suma habitual de R^3, pero el producto por un escalar no lo es y algo tendrá que fallar supongo.
a) Asociativa, a(bu) =(ab)u
a(b(x,y,z)) = a(x,by,bz) = (x, aby,abz)
(ab)(x,y,z) = (x, aby, abz)
la cumple.
b) 1 es elemento neutro del producto
1(x,y,z) = (x, 1·y, 1·z) = (x,y,z) la cumple
c) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores a(u+v) = au+av
a[(x,y,z)+(u,v,w)] =a(x+u, y+v, z+w) = (x+u, a(y+v), a(z+w)) =
(x+u, ay+av, az+aw) = (x,ay,az) + (u,av,aw) =
por la definición de este producto
= a(x,y,z)+a(u,v,w) la cumple
d) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares (a+b)u=au+bu
(a+b)(x,y,z) = (x, (a+b)y, (a+b)z) = (x, ay+by, az+bz)
a(x,y,z)+b(x,y,z)= (x,ay,az)+(x,by,bz)=(2x, ay+by, az+bz)
Por fin, ya me estaba temiendo que fuera un espacio vectorial, pero no lo es porque ha fallado esta propiedad.
Es un ejercicio completo este, por favor manda cada uno de los restantes en una pregunta para él solo.
Ahora tengo que dejarlo y pido perdón por la tardanza, pero llevo unos ajetreados y no puedo llegar a todo.
Hola buenas noches, gracias por tu aportación, las respuestas que me pones en cada inciso se refieren a cada una de las preguntas?
saludos.
