Hola ¿Podrían ayudarme con el siguiente problema sobre espacios métricos por favor?

Un conjunto A es un abierto si todos sus puntos son interiores. Y un punto x es interior si existe una bola con centro en x y radio r, B(x, r) incluida en A

a)  Llamemos A ={x € X| d(a,x)>r}

Sea un punto x € A, tomemos una bola B con centro x con radio epsilon

epsilon = d(x,a) - r

Sea y € B(x, epsilon)  ==> d(x,y) < epsilon  ==> -d(x,y) > - epsilon

esto se usará después.

Por las propiedades de la métrica d

d(x,a) <= d(x,y)+d(y,a)

depejando d(y,a) y ponéndolo en la izquierda

d(y,a) >= d(x,a) - d(x,y) > d(x,a) - epsilon = d(x,a) - [d(x,a) -r] = r

resumiendo

d(y,a) > r

Luego los puntos de esa bola con centro en x están dentro de A, luego x es un punto interior de A y todo punto de A es interior, luego A es un abierto.

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b)

Un conjunto es un cerrado si y solo si su complementario es un abierto. Luego este ejercicio es equivalente a demostrar que

A = {x € X | d(x,a)< r} es un abierto

Sea x€A

Tomamos una bola con centro en x y radio epsilon = r-d(x, a)

se cumple d(x,y) < r-d(x,a)

Por las propiedades de la métrica d

d(a,y) <= d(a,x) + d(x,y) < d(a,x) + r - d(x,a) = r

resumiendo

d(a,y) < r

Luego los puntos y de la bola pertenecen a A y por tanto la bola está contenida en A y los puntos x de A son todos interiores, luego A es un abierto y su complementario que es el que nos piden demostrar es un cerrado.

Y eso es todo.