Determinar todos los z pertenecientes a complejos que sastifacen la igualdad
Hola, tengo el siguiente ejercicio en el que se debe encontrar z para cumplir la igualdad
z^3=(conjugado de z)^2
Saludos
2 Respuestas
Lucho 96!
Tomemos el número z en su forma polar, como un módulo y un ángulo entre 0 y 360º
El módulo del conjugado de z es el mismo que el de z
módulo de z^3 = (módulo de z)^3
módulo de (conjugado de z)^2 = (módulo de z)^2
(módulo de z)^3 = (módulo de z)^2
(módulo de z) = 0 ó 1
Y el elevar al cuadadro multiplica por 2 el ángulo y elevar al cubo lo multiplica por 3
El ángulo de (z conjugado) = 360º - angulo z
luego
3·ángulo(z) = 2(360º-ángulo(z)) = 720º - 2·angulo(z)
5·ángulo(z) = 720º
5·ángulo(z) = 0º
Como hay ángulos iguales en vueltas distintas, esto son varias ecuaciones.
Primero voy a llamar a al ángulo de z para no escribir tanto
5a=0º ==> a = 0
5a = 360º ==> a = 72º
5a = 720º ==> a = 144º
5a = 1080º ==> a = 216º
5a = 1440º ==> a = 288º
Luego los números en forma polar m=modulo y a=ángulo son
m=0
m=1, a=0º
m=1, a=144º
m=1, a=216º
m=1, a=288º
Y eso es todo.
Se me olvidó incrustar el
m=1, a=72º enntre las respuestas. Con lo cual son SEIS.
Ya que el número z=0 que no es nínguno de los anteriores también es respuesta
¿Quién me dice a mi que
¿0^3 no es igual que (conjugado de 0)^2?
No usé la forma exponencial de los números complejos porque en los colegios no se estudia, solo se hace al llegar a la universidad, como yo no sé los estudios que tiene el usuario uso la forma polar, que viene a ser lo mismo y estoy seguro que la ha estudiado. Y lo único que queda fea por no usarla con módulo y el ángulo como subíndice pero todos nos entendemos.
Considera al número complejo Z explesado en su forma exponencial:
$$\begin{align}&Z=M e^{i b}\end{align}$$siendo M su módulo y b su argumento, y son -ambos (M y b)- nuestras incógnitas.
Así expresado, entonces, el conjugado de Z (al que notaremos como Zc) se expresaría así:
$$\begin{align}&Zc = M e^{- i b}\end{align}$$Reemplaza lo anterior en tu ecuación y quedará:
$$\begin{align}&Z^3 = Zc^2 -->\\ &(M e^{i b})^3 = (M e^{- i b})^2 -->\\ &M^3 e^{i 3 b} = M^2 e^{-i 2 b}\end{align}$$Y simplificando quedará:
$$\begin{align}&M = e^{-i 5b}\end{align}$$o en su forma binómica:
$$\begin{align}&M = \cos(5b) - i sen(5b)\end{align}$$Y ahora razonemos:
a) M es un número real POSITIVO.
b) Y está igualado a un número que podría ser complejo o real según el valor del ángulo 5b.
c) La única forma que esa igualdad tenga sentido es que la parte imaginaria sea SIEMPRE nula. O sea:
$$\begin{align}&5b = k \pi\end{align}$$pues, y en ese caso, siempre será:
$$\begin{align}&sen( 5b) = sen(k \pi) = 0\end{align}$$Así las cosas, fíjate que:
$$\begin{align}&\cos(5b)=\cos(k \pi)\end{align}$$siempre dará 1 o -1 según que vayamos variando el valor del entero "k" (k=0, 1, 2, 3, 4, 5, etc)
d) Pero como "M" SIEMPRE es un real positivo (o nulo) aquellos "k" sólo pueden ser pares. Resumiendo:
$$\begin{align}&5b=2k \pi ===>\\ &b = \frac{2k \pi}{5}, con; k={0, 1, 2, 3 ,y, 4}\\ &\end{align}$$El resto de los "k" no aportan -sino- angulos congruentes con los 5 ángulos ya determinados.
En resumen:
Son cinco los números complejos que satisfacen esa ecuación. Todos tienen a "1" como módulo y sus argumentos con los ya determinados.