Cual sera la masa y el centro de masa

$$\begin{align}& \end{align}$$

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Hay algunos días que no puedo contestar todas las preguntas bien porque se agolpan o porque no las conozco. Y si en los días posteriores tampoco puedo se van quedando muy atrás en la lista y se olvidan.

La masa es la integral de la densidad por la superficie

$$\begin{align}&m=\iint_S\rho \;ds\\ & \\ & m=\int_0^2\int_0^2(2+x+y)dydx=\\ & \\ & \int_0^2 \left[2y+xy+\frac{y^2}{2}  \right]_0^2dx=\\ & \\ & \int_0^2(4+2x+2)dx =\\ & \\ & \int_0^2(6+2x)dx=\\ & \\ & \left[6x+x^2  \right]_0^2=12+4 = 16\\ & \\ & \text{Luego }m=16\end{align}$$

Y las coordenadas del centro de gravedad se calculan así

$$\begin{align}&x_c=\frac{\iint_Sx\rho \;ds}{\iint_S\rho \;ds}\\ & \\ & y_c=\frac{\iint_Sy\rho \;ds}{\iint_S\rho \;ds}\\ & \\ & \text{los denominadores ya se calcularosn, valen 16}\\ & \\ & \int_0^2\int_0^2 (2x+x^2+xy)dydx=\\ & \\ & \int_0^2\left[2xy+x^2y+\frac{xy^2}{2}  \right]_0^2 dx=\\ & \\ & \int_0^2(4x+2x^2+2x)dx=\\ &\\ &\int_0^2(2x^2+6x)dx=\\ &\\ &\left[\frac{2x^3}{3}+3x^2  \right]_0^2= \frac {16}3+12=\frac {52}{3}\\ &\\ &x_c=\frac{\frac{52}{3}}{16}=\frac {52}{48}=\frac {13}{12}\end{align}$$

Y para la coordenada y tengamos en cuenta que en la función de densidad juegan el mismo papel x y y nada las hace distintas, y los límites de integración tambien son los mismos luego nada hará que las integrales estas sean distintas son la misma uintercambiando los nombres de las variables, luego la coordenada yc=xc es y el centro de gravedad es

(xc, yc) = (13/12, 13/12)

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