En mi caso no lo sé, pero quería proponer que si el micrófono de Xbox 360 funciona mediante una base que se conecta a la consola por USB, puedes usar este convertidor de jack de audio a USB, la clavija alargada de audio se conectará a la entrada de cascos del equipo de música, y la base del micrófono se conectará a la entrada USB hembra del convertidor
lo puedes encontrar en tiendas de informática o en internet
https://www.google.es/search?q=adaptador+usb+a+jack+audio&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=6C6MVLe2OIjnaPuvgqgD&ved=0CAgQ_AUoAQ&biw=1024&bih=696#tbm=isch&q=adaptador+usb+hembra+a+jack+audio&imgdii=_
No estoy seguro de que funcione pero no encuentro otra alternativa, salvo adaptar el RCA del equipo de música a USB, pero me parece mucho más complicado
https://www.google.es/search?q=adaptador+usb+a+jack+audio&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=6C6MVLe2OIjnaPuvgqgD&ved=0CAgQ_AUoAQ&biw=1024&bih=696#tbm=isch&q=adaptador+usb+rca&imgdii=_
En caso de que el micrófono sea recibido directamente por la consola (sin necesidad de base), desconozco por completo que opciones existen, se puede conectar la consola al equipo de música, pero no tiene relación directa con lo que quieres.