Hola, Como se vera mi sitio web en pantallas de otras computadoras?

Buenas tardes, tengo una duda y me surgió preguntarla aprovechando de mi experiencia que tuve en unas clases y que debí preguntarla antes por aquí pero recientemente me acorde.

Hace tiempo tuve que realizar diseño básico de pagina web para presentación final de una clase y la hice en dreamweaver y lo que paso es cuando la realice mi diseño web en mi maquina se veía como yo quería que se vea, luego todo eso lo guarde en un flash memory y lo lleve a mi instituto para presentarlo al abrirlo en esas computadoras también con dreamweaver y probarlo con un explorador ya no se veía como yo lo veía antes si no que una imagen se salia de su lugar se sobreponía en otra y así en cada elemento del diseño en su mayoría y yo la verdad me sorprendí y dije ya me aplace XD. Por si acaso le pregunte a mi docente pero ese docente mas malo no podía ser que le vamos a hacer.

ahora con eso en mente y antes de ponerme a diseñar con las tecnologías de HTML5 entre otras para esquematizar, diseñar etc mi pagina web , si yo la hago en mi computadora y subirla a Internet se tendría que ver en las otras computadoras tal y como yo la he visto primero? , al margen de las pantallas chicas como celulares. Que para eso se hace con el responsive design no?.

Bueno espero no haberlos aburridos y muchas gracias por su respuesta :).