Aproximacion de funciones continuas...Analisis Matematico!

·

Tomemos logaritmos que parece que por ahí encontraremos el método

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2···x_n}=L\\&\\&log(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2···x_n} = log(L)\\&\\&\text {por un teorema de conmutación}\\&\text{en el límite de los logaritmos}\\&\\&\lim_{n\to\infty}log (\sqrt[n]{x_1x_2···x_n}) = log(L) \\&\\&\text {por lo tanto lo que hay que demostrar es}\\&\\&\lim_{n\to\infty}log (\sqrt[n]{x_1x_2···x_n}) = log(a) \\&\\&\text {por propiedades de los logaritmos hay que demostrar}\\&\\&\lim_{n\to\infty}\frac{log x_1+logx_2+···+logx_n}{n}=log(a)\end{align}$$

Nos darán un epsilon>0

Como el logartimo es una función continua si la sucesión x_n tiende a a, la sucesión log(x_n) tenderá a log(a)

Entonces dado un epsilon > 0 existirá un m tal que si n>m se cumplirá

|log(x_n) - log(a)| < epsilon / 2

que es lo mismo que esto

-epsilon/2 < log(x_n) - log(a) < epsilon/2

Nos interesa solamnente la primera desigualdad de la que se deduce

log(x_n) > log(a) - epsilon / 2

La suma de los logaritmos desde x_1 hasta x_m tendrá un valor cualquiera, llamémoslo S

Tomemos el valor

V = m·log(a) - S

Eso es lo que falta a los primeros términos para que su media sea log(a), vamos a compensarlo con términos posteriores aprovechando que los hemos hecho más cercanos a log(a) que el epsilon

Tomemos tras m un número p de términos, como todos ellos están acotados así

log(a) - epsilon/2  <= log(x_i) <= log(a)+epsilon/2

$$\begin{align}&\frac{S+p\left(log(a)-\frac{\epsilon}{2}\right)}{m+p} -log(a)\le \\&\\&\frac{S+\sum_{i=m+1}^{m+p}log (x_i)}{m+p} - log(a)\le\\&\\&\frac{S+p\left(log(a)+\frac{\epsilon}{2}\right)}{m+p}-log(a)\\&\\&operando\\&\\&\frac{S+p·log(a)-\frac{p\epsilon}{2}-m·log(a)-p·log(a)}{m+p} \le \\&\\&\frac{S+\sum_{i=m+1}^{m+p}log (x_i)}{m+p} - log(a)\le\\&\\&\frac{S+p·log(a)+\frac{p\epsilon}{2}-m·log(a)-p·log(a)}{m+p} \le \\&\\&operando\\&\\&\frac{S-\frac{p\epsilon}{2}-m·log(a)}{m+p} \le \\&\\&\frac{S+\sum_{i=m+1}^{m+p}log (x_i)}{m+p} - log(a)\le\\&\\&\frac{S+\frac{p\epsilon}{2}-m·log(a)}{m+p} \le \\&\\&operando\\&\\&\frac{S-m·log(a)}{m+p} -\frac{p\epsilon}{2(m+p)}\le \\&\\&\frac{S+\sum_{i=m+1}^{m+p}log (x_i)}{m+p} - log(a)\le\\&\\&\frac{S-m·log(a)}{m+p} +\frac{p\epsilon}{2(m+p)}\le \\&\end{align}$$

Como S, m y log(a) son números finitos el límite cuando p tiende a infinito de los primeros sumandos de la primera y ultima línea será 0 y el de los segundos será epsilon/2.  Luego siempre podremos tomar un p suficientemente grande tal que la primera línea sea mayor que -epsilon y la última menor que epsilon.  Por lo que el módulo de la línea intermedia será menor que épsilon y queda demostrado.  Perdona que no lo escriba todo con el editor de ecuaciones pero el ordenador ya no puede con tanto uso del editor.

·