Análisis combinatorio. Problema de 4 parejas en una mesa circular
Cuatro parejas asisten a una cena y tomarán asiento alrededor de una mesa redonda. ¿Cuántas formas distintas de sentar a las ocho personas existen si:
a) Las parejas deben sentarse juntas,
b) Una pareja debe quedar junta,
c) ¿Una pareja debe quedar separada?
1 Respuesta
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Para este tipo de problemas existe un tipo de combinación llamado permutaciones circulares de n elementos.
Su valor es:
PC(n) = (n-1)!
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a) Si las parejas deben sentarse juntas consideramos las formas en que se pueden poner 4 elementos en la mesa
PC(4) = 3! = 6 formas
Ahora bien, cada pareja puede colocarse de de dos formas, y siendo 4 parejas son 2^4 formas, luego las formas totales son
6 · 2^4 = 6 · 16 = 96
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b) Fijamos la pareja siempre junta en las posiciones 1 y 2, o dicho de otra forma, se pueden sentar en otro sitio pero llamamos 1 a la posición del de la izquierda de los dos y a la del otro Entre si pueden estar de dos formas.
Y las otras seis personas podrán estar en las posiciones 3 a 8 de cualquier forma que son P(6)
Luego las formas son
2·P(6) = 2 · 6! = 2 · 720 = 1440
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c)
Fijamos el lugar de la mujer de la pareja en el puesto 1. El hombre podrá estar en los puestos 3,4,5,6 y 7, luego en 5 sitios. Y por cada uno de ellos las otras 6 personas pueden ponerse de cualquier forma, luego el número de formas es:
5 · 6! = 5 · 720 = 3600 formas
