Sean a1,a2,...,ar todas las raíces diferentes de f(x),

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Bueno, faltaría por decir que f(x) es una función polinómica, si no no se cumple esto.

Si un polinomio tiene a1, a2, ..., ar raíces con multiplicidad m1, m2, ..., mr el polinomo es

$$\begin{align}&f(x)=k(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}···(x-a_r)^{m_r}\end{align}$$

Y ahora opera esa función, por ejemplo usando la fórmula del binomio de Newton

(x-a1)^(m1) = x^(m1)  - m1·x^(m1-1)·a1 + .......

(x-a2)^(m2) = x^(m2) - m2·x^(m2-1)·a2 + .......

...

Y luego multiplicas todos los factores que tengas y el término de mayor grado es el que se obtiene por la multiplicación de los términos de mayor grado de cada uno de ellos, dicho término será

k·x^(m1)·x^(m2)···x^(mr) =

k·x^(m1+m2+....+mr)

Por supuesto que k era distinto de 0 (si no era el polinomio nulo que lo puedes estudiar aparte si quieres)

con ello el grado del polinomio es m1+m2+...+mr

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Esta es una demostración para andar por casa, aparte que por escrito no se puede comunicar todo lo que se podría expresar en directo. La rigurosidad de la demostración dependerá del nivel de lo que estés estudiando, adécuala si hace falta. Y si ya está bien, no olvides puntuar.