Demostración de series por Cauchy y D´Alambert

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No se ve claro el orden en

 a + b + a^2 + b^2 + b^3

seguramente querías decir

 a + b + a^2 + b^2+ a^3 + b^3

Efectivamente Maestro, tiene razón la secuencia correcta es como Usted la anota, yo cometí un error.

Veo muchos criterios de Cauchy. ¿Puedes decirme a cuál se refieren? Y si llevas un libro dime cuál es también.

Sea a_n≠0 ∀n∈N. Si existe una constante c tal que |a_(n+1)/a_n | ≤c<1 ∀ n suficientemente grande
(un caso particular,sería que |a_(n+1)/a_n | <1), entonces la serie
∑a_n es absolutamente convergente (Cauchy)

Sea a_n≠0 ∀n∈N. Si existe una constante c tal que |a_(n+1)/a_n | ≤c<1 ∀ n suficientemente grande
(un caso particular,sería que |a_(n+1)/a_n | <1), entonces la serie
∑a_n es absolutamente convergente. (D´Alambert)

Desafortunadamente no llevamos libro, y tenemos que andar buscando, pero esos son los teoremas que estamos usando

Yo creo que has escrito dos veces el criterio de D'Alambert. He visto que al criterio de la raíz enésima también lo llaman de Cauchy y seguramente es ese el que quieren decir aquí.

Entonces el criterio de Cauchy diría que siendo C

$$\begin{align}&C=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\end{align}$$

si C>1 la serie diverge

si C<1 la serie converge absolutamente

si C=1 y |a_n|>1 de cierto n en adelante la serie diverge

En otros casos no dice nada.

Dados 0<a< b<1 tomemos como término la suma de los dos

c_n=a^n+b^n

$$\begin{align}&c_n=a^n+b^n\lt2b^n=(b \sqrt[n]2)^n\\&\\&\text{vamos a hacer varias cosas}\\&\\&0\lt b\lt 1 \implies 2b \lt1+b\implies \frac{1+b}{2b}>1\\&\\&0\lt b\lt 1 \implies b+1<2\implies \frac{1+b}{2}\lt 1\\&\\&Como\quad\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]2=1\\&\exists\; m\quad t.q. \forall n\gt m\to\;\sqrt[n]2\lt \frac {1+b}{2b}\implies \\&\\&b \sqrt[n]2 \lt \frac{1+b}2\lt 1\\&\\&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(b \sqrt[n]2)^n}=\\&\\&\lim_{n\to\infty}b \sqrt[n]2\le \frac{1+b}{2}<1\\&\\&luego\\&\\&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\lt 1\end{align}$$

Y por lo tanto la serie es convergente.

Ya me dirás si lo entendiste. Lo del criterio de D'Alambert queda para mañana.

Muchas ¡Gracias! Maestro, y si efectivamente tiene Usted razón repetí el teorema, y el teorema que Usted propone es el correcto.

Me he liado no sabes de qué forma!

Yo creo que es muchísimo más sencillo.

Si consderamos por una parte la serie de los impares con a, a^2, a^3, ... y por otra la serie de b, b^2, b^3, ... ambas son series geométricas con razón a o b que son menores que 1 y por lo tanto son convergentes y al ser las dos convergentes también lo es la suma de las dos. Y nos dejamos de lo complicado que lo tuve que hacer. La demostración de que las geométricas con tazón menor que 1 son convergentes o ya la tienes o es muy facíl.

En todo caso con Cauchy cada serie por separado sería

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n}=a\lt1\\&\\&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b^n}=b\lt1\end{align}$$

Luego las dos son convergentes y su suma lo es.

Y con el criterio de D'Alembert es lo mismo

$$\begin{align}&\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to\infty}\frac{a^{n+1}}{a^n}=a\lt 1\\&\\&\lim_{n \to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n \to\infty}\frac{b^{n+1}}{b^n}=b\lt 1\end{align}$$

Las dos convergentes y su suma también.

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Entonces yo cogería con pinzas el enunciado, no me parece que esté muy bien o cuanto menos necesitaría alguna explicación de como se deben probar los criterios.

Muchas ¡Gracias! Maestro Valero, es que esa parte donde dice que nada nos permite concluir es donde a mi personalmente me causa resquemor

Ya viste como apliqué Cauchy sin separar las series, fue complicado hasta que descubrí como hacerlo. Y aplicar D'Alembert de esa misma forma a lo mejor puede ser también complicado. Yo creo que antes de ponerse a hacer algo hay que preguntar al profe si se pueden separar y si no se puede que es lo que hay que hacer exactamente. No es un ejercicio claro.

Maestro se acuerda que aquí nos quedo como duda con D´Alambert,  pues me comenta lo siguiente la Maestra:  al aplicar el criterio de d'Alambert  no haces el cociente que indica el criterio. ¿Cuál es el término general de la serie? El criterio pide que dividas un sumando de la serie entre el anterior... an no es el término anterior a an+1, ¿verdad? Si aplicas bien el criterio de d’Alambert te podrás dar cuenta de que en efecto, nada se puede concluir con ese criterio

Maestro Valero, ya encontré la referencia a lo que se refiere la Maestra

Sea una serie , tal que la sumatoria desde k=1 hasta infinito de a_k  tal que a_k> 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

el límite cuando k tiende a infinito de a_k+1/a_k=L

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L< 1, la serie converge.
• si L> 1, entonces la serie diverge.
• si L= 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

por lo que se debe demostrar que L=1 para como dice el enunciado nada se puede concluir

No entiendo lo que hay que hacer.

¿Hay qué demostrar que?

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_n+b_n}\end{align}$$

puede valer 1 o más?

Si se supone que L=1, por que según ella que es incorrecto dado que el criterio pide que dividas un sumando de la serie entre el anterior... an no es el término anterior a an+1, ¿verdad? que si se aplica bien el criterio de d’Alambert que nada se puede concluir con ese criterio, pero esta diciendo que sobre el término general de la serie, pero no entiendo a qué se refiere?