Anónimo
Fuerza cetrípeta -Fuerza centrífuga
He leído que al ser la fuerza centrífuga(Fc) una fuerza inercial, se puede emplear el método de D'Alambert: para que el cuerpo esté en equilibrio dinámico suma de todas las F=0; T-Fc=0 --->(en el caso de que no existiese rozamiento).
He intentado resolver esta questión parecida a la anterior dinámica de rotación:
Una piedra de 1 kg gira sobre una superficie horizontal, con u=0,4 sujeta por una cuerda de 80 cm de longitud. Si gira a 60rpm ¿qué tensión soporta la cuerda?
60rpm=60*2Pi/60s=2Pi rad/s=6,28 rad/s ; Fr+T=Fcp --->T=Fcp-Fr
Fcp=m*w^2*R=1*6,28^2*0,8=31,55
Fr=u*m*g=0,4*1*9,8=3,92
Si Fr y Fr van con "-" por estar dirigidas hacia el centro: T=-31,55-(-3,92)=-27,63N
En este caso la cuerda produce la Fcp sobre la piedra y por el principio de acción- reacción, la piedra ejerce otra fuerza igual pero de sentido contrario:Fc.
Lo que no veo es : según el método Alamberte que utiliza la Fc la ecuación quedaría:
T+Fr-Fc=0 ...pero al ser Fc "+" no me da el mimo resultado de T
He intentado resolver esta questión parecida a la anterior dinámica de rotación:
Una piedra de 1 kg gira sobre una superficie horizontal, con u=0,4 sujeta por una cuerda de 80 cm de longitud. Si gira a 60rpm ¿qué tensión soporta la cuerda?
60rpm=60*2Pi/60s=2Pi rad/s=6,28 rad/s ; Fr+T=Fcp --->T=Fcp-Fr
Fcp=m*w^2*R=1*6,28^2*0,8=31,55
Fr=u*m*g=0,4*1*9,8=3,92
Si Fr y Fr van con "-" por estar dirigidas hacia el centro: T=-31,55-(-3,92)=-27,63N
En este caso la cuerda produce la Fcp sobre la piedra y por el principio de acción- reacción, la piedra ejerce otra fuerza igual pero de sentido contrario:Fc.
Lo que no veo es : según el método Alamberte que utiliza la Fc la ecuación quedaría:
T+Fr-Fc=0 ...pero al ser Fc "+" no me da el mimo resultado de T
1 Respuesta
Respuesta de derinsekt
1
Veo un error, donde calculas la velocidad la dejaste solo como 2*Pi=6.28, te falto multiplicar por el radio, la velocidad debe ser 2*Pi(.8m)/s=5.02654, asi que la fuerza centripeta es
Fcp=m*v^2/r=31.5826
El cambio no es muy grande, pero es bueno hacer esa corrección, también recordemos que es negativa por que va hacia el centro así que Fcp=-31.5826
La fuerza de friccion esta bien Fr=-3.92
Como Fcp=Fr+T => T=Fcp-Fr=-31.5826-(-3.92)=-27.6626
Creo que el error que has cometido es que la fuerza centrípeta esta formada por la suma de la fuerza de fricción y la Tensión, ya que la fuerza centrípeta es la suma de todas las fuerzas que mantienen a la piedra girando en círculos, que seria la suma de todas las componentes de las fuerzas que actúan sobre el objeto en dirección radial hacia el centro, entonces, con el método de D'Alembert, que usa también las fuerzas inerciales (como la fuerza centrifuga:Fc), la ecuación seria
Fc=-Fcp => Fc+Fcp=0
Como sabemos, Fcp=T+Fr, entonces
Fc+(T+Fr)=0 => T=-Fr-Fc
como Fr=-3.92 y Fc=-Fcp=31.5826
T=-(-3.92)-31.5826=3.92-31.5826=-27.6626
Y las dos tensiones obtenidas son idénticas, revísalo a ver si te parece que esta bien, y si te queda alguna duda no olvides preguntar.
Fcp=m*v^2/r=31.5826
El cambio no es muy grande, pero es bueno hacer esa corrección, también recordemos que es negativa por que va hacia el centro así que Fcp=-31.5826
La fuerza de friccion esta bien Fr=-3.92
Como Fcp=Fr+T => T=Fcp-Fr=-31.5826-(-3.92)=-27.6626
Creo que el error que has cometido es que la fuerza centrípeta esta formada por la suma de la fuerza de fricción y la Tensión, ya que la fuerza centrípeta es la suma de todas las fuerzas que mantienen a la piedra girando en círculos, que seria la suma de todas las componentes de las fuerzas que actúan sobre el objeto en dirección radial hacia el centro, entonces, con el método de D'Alembert, que usa también las fuerzas inerciales (como la fuerza centrifuga:Fc), la ecuación seria
Fc=-Fcp => Fc+Fcp=0
Como sabemos, Fcp=T+Fr, entonces
Fc+(T+Fr)=0 => T=-Fr-Fc
como Fr=-3.92 y Fc=-Fcp=31.5826
T=-(-3.92)-31.5826=3.92-31.5826=-27.6626
Y las dos tensiones obtenidas son idénticas, revísalo a ver si te parece que esta bien, y si te queda alguna duda no olvides preguntar.
Hola,
Primero calculé la velocidad angular que me dio W=6,28 rad/s .
La fuerza centrípeta=-m*v^2/r pero si multiplicamos el numerador y el denominador por r nos da la siguiente fórmula: Fcp= -m*w^2*r ya que v=w*r-->w=v/r , por tanto , utilicé esta última expresión para la Fcp...aunque quizas es mejor utilizar la 1º.
Lo he estado revisando y he entendido la forma en que lo has explicado: se suman todas las fuerzas y se igualan a o y luego asignas los signos según se dirijan hacia el centro o hacia fuera.
En el libro donde leí el método deD'Alambert aparece este ej:
m=500g;r=80cm;v=6,28 rad/s; no hay Fde rozamiento : T=? --->T-Fc=0 --->T=m*v^2/r y T=15,77N . Aqui restan las fuerzas que se dirigen hacia fuera de las que se dirigen hacia dentro y como deben de estar en equilibrio dinámico las igualan a 0 ...toman valores absolutos , por tanto por este procedimiento el ejercício quedaría:T+fr-Fc=o ---> T= 31,58 - 3,92 =27,66N ...aunque prefiero el método que indicó porque mediante el signo sabemos si una fuerza se dirige hacia el centro o no y por tanto es más correcto...no? espero estar en lo cierto.
Me pregunto ... en este caso que no hay una plataforma girando que produzca w sino es la propia cuerda ... si de repente se rompe la cuerda ... ¿se podría saber hasta dónde puede llegar la piedra?
Muchísimas gracias.
Primero calculé la velocidad angular que me dio W=6,28 rad/s .
La fuerza centrípeta=-m*v^2/r pero si multiplicamos el numerador y el denominador por r nos da la siguiente fórmula: Fcp= -m*w^2*r ya que v=w*r-->w=v/r , por tanto , utilicé esta última expresión para la Fcp...aunque quizas es mejor utilizar la 1º.
Lo he estado revisando y he entendido la forma en que lo has explicado: se suman todas las fuerzas y se igualan a o y luego asignas los signos según se dirijan hacia el centro o hacia fuera.
En el libro donde leí el método deD'Alambert aparece este ej:
m=500g;r=80cm;v=6,28 rad/s; no hay Fde rozamiento : T=? --->T-Fc=0 --->T=m*v^2/r y T=15,77N . Aqui restan las fuerzas que se dirigen hacia fuera de las que se dirigen hacia dentro y como deben de estar en equilibrio dinámico las igualan a 0 ...toman valores absolutos , por tanto por este procedimiento el ejercício quedaría:T+fr-Fc=o ---> T= 31,58 - 3,92 =27,66N ...aunque prefiero el método que indicó porque mediante el signo sabemos si una fuerza se dirige hacia el centro o no y por tanto es más correcto...no? espero estar en lo cierto.
Me pregunto ... en este caso que no hay una plataforma girando que produzca w sino es la propia cuerda ... si de repente se rompe la cuerda ... ¿se podría saber hasta dónde puede llegar la piedra?
Muchísimas gracias.
Ah, ok, perdón, estaba confundido, usaste bien la fuerza centrípeta.
Acerca de lo que dices, sobre la dirección de las fuerzas, en mi opinión es útil tener los signos "+" o "-" haciendo la distinción de que fuerzas van en cierta dirección y que fuerzas van en dirección contraria, me parece más lógico e instructivo que simplemente meter números en las fórmulas de los libros, ya que usando los signos correctos puedes concluir que fuerzas se mueven en que dirección, cuales se anulan con cuales, cuales se suman para formar otras, etc, lo cual permite realmente entender la física que hay dentro del problema.
En este caso, cuando giras una masa con una cuerda de radio r a cierta velocidad angular w, la velocidad tangencial de la masa (o su rapidez) es v=w*r, si la cuerda de repente se rompe la masa sigue una trayectoria parabólica hacia el piso, tangencial al punto donde estaba cuando se rompió la cuerda, digamos que cuando giraba la piedra estaba a una altura h, entonces, cuando la cuerda se rompe la masa comienza a caer por acción de la gravedad con una aceleración g, el tiempo que tarda en caer entonces es t=(2h/g)^(1/2), entonces, la distancia que recorre es
d=v*t=w*r*(2h/g)^(1/2)
O sea, que a partir de que se rompe la cuerda es como un problema de tiro parabólico con angulo de tiro de 0 grados, altura de tiro h, y velocidad inicial w*r.
Cualquier cosa, no olvides preguntar.
Acerca de lo que dices, sobre la dirección de las fuerzas, en mi opinión es útil tener los signos "+" o "-" haciendo la distinción de que fuerzas van en cierta dirección y que fuerzas van en dirección contraria, me parece más lógico e instructivo que simplemente meter números en las fórmulas de los libros, ya que usando los signos correctos puedes concluir que fuerzas se mueven en que dirección, cuales se anulan con cuales, cuales se suman para formar otras, etc, lo cual permite realmente entender la física que hay dentro del problema.
En este caso, cuando giras una masa con una cuerda de radio r a cierta velocidad angular w, la velocidad tangencial de la masa (o su rapidez) es v=w*r, si la cuerda de repente se rompe la masa sigue una trayectoria parabólica hacia el piso, tangencial al punto donde estaba cuando se rompió la cuerda, digamos que cuando giraba la piedra estaba a una altura h, entonces, cuando la cuerda se rompe la masa comienza a caer por acción de la gravedad con una aceleración g, el tiempo que tarda en caer entonces es t=(2h/g)^(1/2), entonces, la distancia que recorre es
d=v*t=w*r*(2h/g)^(1/2)
O sea, que a partir de que se rompe la cuerda es como un problema de tiro parabólico con angulo de tiro de 0 grados, altura de tiro h, y velocidad inicial w*r.
Cualquier cosa, no olvides preguntar.
Ya veo ... despeja el tiempo de H=1/2*g*t^2 ... en ese caso se supone que la piedra no está apoyada en una superficie sino que describe una circunferencia vertical... así lo he entendido... ya que existe actúa sobre ella la gravedad.
Pero en el caso de que la piedra girase apoyada a una superficie horizontal, con u=0,4 ... ¿se podría saber?
Gracias
Pero en el caso de que la piedra girase apoyada a una superficie horizontal, con u=0,4 ... ¿se podría saber?
Gracias
El movimiento no es como una circunferencia vertical, es una parábola.
Si como antes, la superficie horizontal es circular de radio R, y gira con una velocidad angular w, suponiendo que lo único que limita el movimiento de la masa es la fricción con u=0.4, la fuerza centrípeta es Fcpt=-m*(w^2)*r, y la fuerza centrifuga seria la misma pero hacia el exterior, Fc=m*(w^2)*r, y como a la masa solo la detiene la fuerza de fricción, la fuerza sobre la masa seria
F=m*(w^2)*r-u*m*g=m*a
donde a es la aceleracion de la masa, entonces
a=(w^2)*r-u*g
Que es una ecuación diferencial, ya que a=(d^2 r/dt^2) (segunda derivada de r con respecto del tiempo)
(d^2 r/dt^2)=(w^2)*r-u*g
Recordando el problema, hay dos situaciones, si la masa esta en un cierto r menor que el Ro que habíamos encontrado anteriormente (Ro donde la fricción era igual a la fuerza centrípeta) la pelota no se mueve, entonces tomaremos como valores iniciales que cuando t=0, r=d>Ro, y que la velocidad v en t=0 es v=0, resolvemos la ecuación diferencial y obtenemos una función para la posición:
r=g*u(1+(w-1)Cosh[t*w])/w^2, donde t es el tiempo (1)
y velocidad
v=(w-1)g*u*Senh[t*w]/w (2)
Puedes despejar "t" en la ecuación (1) y obtener el tiempo que le toma llegar al borde de una plataforma circular con radio R, y el "t" que obtengas lo sustituyes en la velocidad para obtener la velocidad con que deja la plataforma, ya conociendo la velocidad con que sale de la plataforma continuas como si fuera un problema de tiro parabólico con angulo de tiro 0, y la velocidad que obtengas seria la velocidad inicial.
Las funciones Cosh[x] y Senh[x] son las funciones de Sen y Cos pero para una hipérbola, por eso la h, no son como las de siempre, que son para un circulo, para obtenerlas en la calculadora hay una tecla que ha de decir hyp.
Cualquier duda, puedes preguntar
Si como antes, la superficie horizontal es circular de radio R, y gira con una velocidad angular w, suponiendo que lo único que limita el movimiento de la masa es la fricción con u=0.4, la fuerza centrípeta es Fcpt=-m*(w^2)*r, y la fuerza centrifuga seria la misma pero hacia el exterior, Fc=m*(w^2)*r, y como a la masa solo la detiene la fuerza de fricción, la fuerza sobre la masa seria
F=m*(w^2)*r-u*m*g=m*a
donde a es la aceleracion de la masa, entonces
a=(w^2)*r-u*g
Que es una ecuación diferencial, ya que a=(d^2 r/dt^2) (segunda derivada de r con respecto del tiempo)
(d^2 r/dt^2)=(w^2)*r-u*g
Recordando el problema, hay dos situaciones, si la masa esta en un cierto r menor que el Ro que habíamos encontrado anteriormente (Ro donde la fricción era igual a la fuerza centrípeta) la pelota no se mueve, entonces tomaremos como valores iniciales que cuando t=0, r=d>Ro, y que la velocidad v en t=0 es v=0, resolvemos la ecuación diferencial y obtenemos una función para la posición:
r=g*u(1+(w-1)Cosh[t*w])/w^2, donde t es el tiempo (1)
y velocidad
v=(w-1)g*u*Senh[t*w]/w (2)
Puedes despejar "t" en la ecuación (1) y obtener el tiempo que le toma llegar al borde de una plataforma circular con radio R, y el "t" que obtengas lo sustituyes en la velocidad para obtener la velocidad con que deja la plataforma, ya conociendo la velocidad con que sale de la plataforma continuas como si fuera un problema de tiro parabólico con angulo de tiro 0, y la velocidad que obtengas seria la velocidad inicial.
Las funciones Cosh[x] y Senh[x] son las funciones de Sen y Cos pero para una hipérbola, por eso la h, no son como las de siempre, que son para un circulo, para obtenerlas en la calculadora hay una tecla que ha de decir hyp.
Cualquier duda, puedes preguntar
Y claro que el alcance también depende de la altura de la plataforma con respecto del suelo
Hola,
siento haber tardado en responder. Respecto a la ecuación diferencial... ¿podría indicarme de qué forma llega a la ecuación de r y v?
Muchísimas gracias.
siento haber tardado en responder. Respecto a la ecuación diferencial... ¿podría indicarme de qué forma llega a la ecuación de r y v?
Muchísimas gracias.
Ok, he revisado y había cometido un error, ahí te va
Tenemos la ecuación diferencial
(d^2 r/dt^2)=(w^2)*r-u*g
(1/(w^2))(d^2 r/dt^2)=r-u*g/(w^2)
De no ser por el termino u*g/(w^2), tendriamos una ecuacion homogenea que seria
(1/(w^2))(d^2 r/dt^2)=r
Con soluciones r=(C1)Exp[w*t]+(C2)Exp[-w*t], donde los coeficientes constantes C1 y C2 se determinan con condiciones iniciales. El hecho de que el termino -u*g/(w^2) no dependa del tiempo facilita bastante las cosas, ya que provoca que la solucion completa sea la solucion de la ecuacion homogenea mas una solucion particular que es precisamente u*g/(w^2), asi que la solucion completa es
r(t)=(C1)Exp[w*t]+(C2)Exp[-w*t]+u*g/(w^2)
Determinamos los coeficientes C1 y C2 con las condiciones iniciales, las condiciones iniciales vienen de como es que iniciaremos nuestro problema, primero, cuanto t=0, ¿dónde pondremos la masa? , un punto que simplifica las cosas es el punto que habiamos encontrado antes, donde las fuerzas de friccion y centripeta estan en equilibrio Ro=u*g/(w^2)=r(0)
r(0)=(C1)Exp[w*0]+(C2)Exp[-w*0]+u*g/(w^2)=u*g/(w^2)
r(0)=(C1)+(C2)+u*g/(w^2)=u*g/(w^2)
C1=-C2=C
r(t)=C*(Exp[w*t]-Exp[-w*t])+u*g/(w^2)=2C*Senh[w*t]+u*g/(w^2)
Y necesitamos otra condición, por que son dos coeficientes, la segunda condición es que cuando pongamos la masa la colocaremos con cierta velocidad inicial v para comenzar el movimiento al exterior, o sea V(0)=v, como V=d r/dt
V(t)=d r/dt=2C*w*Cosh[w*t]
V(0)=2C*w*Cosh[w*0]=2C*w=v
C=v/(2w)
Asi que ya tenemos todo para escribir la posicion r(t)
r(t)=(v/w)Senh[w*t]+u*g/(w^2)
y la velocidad V(t)
V(t)=v*Cosh[w*t]
El error que había cometido era que si la velocidad inicial era 0, la masa no se movería de su posición, por eso mejor comienzo con una velocidad inicial v.
Tu puedes cambiar las condiciones iniciales a tu antojo para conseguir la solución a cualquier combinación de problema, con cualquier posición inicial y cualquier velocidad inicial. Ya teniendo las soluciones has lo que te había dicho en la respuesta anterior para encontrar la velocidad a la que sale de la plataforma.
Si te queda alguna duda puedes preguntar.
Tenemos la ecuación diferencial
(d^2 r/dt^2)=(w^2)*r-u*g
(1/(w^2))(d^2 r/dt^2)=r-u*g/(w^2)
De no ser por el termino u*g/(w^2), tendriamos una ecuacion homogenea que seria
(1/(w^2))(d^2 r/dt^2)=r
Con soluciones r=(C1)Exp[w*t]+(C2)Exp[-w*t], donde los coeficientes constantes C1 y C2 se determinan con condiciones iniciales. El hecho de que el termino -u*g/(w^2) no dependa del tiempo facilita bastante las cosas, ya que provoca que la solucion completa sea la solucion de la ecuacion homogenea mas una solucion particular que es precisamente u*g/(w^2), asi que la solucion completa es
r(t)=(C1)Exp[w*t]+(C2)Exp[-w*t]+u*g/(w^2)
Determinamos los coeficientes C1 y C2 con las condiciones iniciales, las condiciones iniciales vienen de como es que iniciaremos nuestro problema, primero, cuanto t=0, ¿dónde pondremos la masa? , un punto que simplifica las cosas es el punto que habiamos encontrado antes, donde las fuerzas de friccion y centripeta estan en equilibrio Ro=u*g/(w^2)=r(0)
r(0)=(C1)Exp[w*0]+(C2)Exp[-w*0]+u*g/(w^2)=u*g/(w^2)
r(0)=(C1)+(C2)+u*g/(w^2)=u*g/(w^2)
C1=-C2=C
r(t)=C*(Exp[w*t]-Exp[-w*t])+u*g/(w^2)=2C*Senh[w*t]+u*g/(w^2)
Y necesitamos otra condición, por que son dos coeficientes, la segunda condición es que cuando pongamos la masa la colocaremos con cierta velocidad inicial v para comenzar el movimiento al exterior, o sea V(0)=v, como V=d r/dt
V(t)=d r/dt=2C*w*Cosh[w*t]
V(0)=2C*w*Cosh[w*0]=2C*w=v
C=v/(2w)
Asi que ya tenemos todo para escribir la posicion r(t)
r(t)=(v/w)Senh[w*t]+u*g/(w^2)
y la velocidad V(t)
V(t)=v*Cosh[w*t]
El error que había cometido era que si la velocidad inicial era 0, la masa no se movería de su posición, por eso mejor comienzo con una velocidad inicial v.
Tu puedes cambiar las condiciones iniciales a tu antojo para conseguir la solución a cualquier combinación de problema, con cualquier posición inicial y cualquier velocidad inicial. Ya teniendo las soluciones has lo que te había dicho en la respuesta anterior para encontrar la velocidad a la que sale de la plataforma.
Si te queda alguna duda puedes preguntar.