Cómo calcular una integral impropia

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Ninel!

·

No intentes calcular la función integral, no es una función expresable como combinación de funciones elementales.

Debes usar criterios de convergencia. La función no tiende a infinito en ningún punto, esta acotada.

$$\begin{align}&\left|\frac{sen x}{(1+x^2)}   \right|\le \left|\frac{1}{(1+x^2)}   \right|\le 1\end{align}$$

Luego el único problema lo tiene porque el intervalo de integración es infinito.

Usemos el teorema que dice que si una función es absolutamente convergente entonces es convergente.

Y otro que dice que si una función positiva es integrable en [a,t] para todo t de R entonces la integral impropia en [a,infinito) es convergente si y solo si la integral definida entre [a,t] está acotada superiormente

$$\begin{align}&Sea\; t\ge0\\&\\&\int_0^{t}\left|\frac{sen x}{(1+x)^2}\right|dx=\\&\\&\int_0^{t }\frac{|sen x|}{(1+x)^2}dx\le \\&\\&\int_0^{t}\frac{1}{(1+x)^2}=\\&\\&-\left. \frac{1}{1+x} \right|_0^{t}=-\frac{1}{1+t}+1\le1\\&\\&\text {luego}\\&\\&\int_0^{t}\left|\frac{sen x}{(1+x)^2}\right|dx \le 1\quad  \forall t\ge0\\&\\&\text{como es positiva, integrable en [0,t]}\\&\text{y la integral acotada en [0,t]}\implies \\&\\&\int_0^{\infty}\left|\frac{sen x}{(1+x)^2}\right|dx\quad convergente\implies\\&\\&\int_0^{\infty}\frac{sen x}{(1+x)^2}dx\quad absolutamente\;convergente\implies\\&\\&\int_0^{\infty}\frac{sen x}{(1+x)^2}dx\quad convergente\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

El valor de la integral es complicado de calcular porque como te dije no existe una función integral elemental, son funciones especiales que se crean a propósito cad vez que se da un caso de estos.

En Wolfran Alpha te pueden dar el resultado:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sin%28x%29%2F%281%2Bx%29^2+++x%3D0+to+inf

Es aproximadamente 0.343378