Como soluciono este problema de probabilidad.
Una maquinaria para producir un nuevo tubo electronico experimental genera
tubos defectuosos de vez en cuando, de una manera aleatoria. El ingeniero supervisor
de una máquina en particular, ha notado que los tubos defectuosos parecen
agruparse (y, por tanto, aparecen de manera no aleatoria) y esto sugiere el mal
funcionamiento de alguna de la maquina. Una prueba para detectar la no aleatoriedad
de un evento, se basa en el numero de corridas de artculos defectuosos
y buenos (una corrida es una sucesion no interrumpida de artculos defectuosos
o buenos). Mientras mas pequeña sea el numero de corridas, mas grande es la
evidencia que indica la no aleatoriedad. De 12 tubos producidos por la maquina,
los 10 primeros eran buenos y los dosultimos defectuosos (BBBBBBBBBBDD).
Suponga la aleatoriedad.
a) >¿Cual es la probabilidad de observar dos corridas?
b) >¿Cual es la probabilidad de que el numero de corridas R sea R=3?
1 respuesta
·
Vamos a calcular la cantidad de maneras haber una sola corrida porque a partir de ello se calcularán las de dos
Dados m tubos puede haber m corridas de 1 tubo, m-1 corridas de 2 tubos, m-2 corridas de 3 tubos, ..., 1 corrida de m tubos
Luego hay 1+2+3+....+m formas con una sola corrida
Es una progresión aritmética cuya suma es
S = m(m+1)/2
Que quizá pueda ser útil expresar como C(m+1, 2)
Y si denotamos como Co(m, n) el número de formas de obtener n corridas con m tubos tenemos
Co(m,1) = m(m+1)/2 = C(m+1, 2)
Ahora vamos con dos corridas.
Para evitar contar dos veces la misma corrida vamos a diferenciarlas por el tubo donde termina la primera corrida.
Sea p el tubo donde termina la primera corrida, para que pueda haber una segunda corrida y teniendo en cuenta que entre medias debe haber un tubo bueno tendremos que la primera corrida debe terminar a la sumo en el tubo m-2
p<=m-2
El tubo p+1 será un tubo bueno por fuerza y en los tubos que quedan m-p-1 debe haber una corrida.
Las formas de haber una corrida en esos m-p-1 tubos ya lo hemos calculado antes. Nos falta saber cuantas son las formas de haber una corrida que temine en el tubo p, eso es sencillo, son p formas, la que empieza en el primero, la que empieza en el segundo, ..., y la que solo tiene el tubo p
Entonces la fórmula para el número total de formas de haber dos corridas es:
$$\begin{align}&Co(m,2) = \sum_{i=1}^{m-2}i·\frac{(m-i)(m-i-1)}{2} =\\&\\&\frac 12\sum_{i=1}^{m-2}i·(m-i)(m-i-1) =\\&\\&\frac 12\sum_{i=1}^{m-2}i(m^2-2mi+i^2-m+i)\\&\\&\frac 12(m^2-m)\sum_{i=1}^{m-2}i-\frac 12(2m-1)\sum_{i=1}^{m-2}i^2+\frac 12i^3 =\\&\\&\text{usando las fórmulas de suma de los primeros}\\&\text{naturales, cuadrados y cubos tenemos}\\&\\&\frac 12(m^2-m)\frac{(m-2)(m-1)}{2}-\\&\\&\frac 12(2m-1)\frac{(m-2)(m-1)(2m-4+1)}{6}+\\&\\&\frac 12 \frac{(m-2)^2(m-1)^2}{4}=\\&\\&\frac 12 \left( \frac{m^4-4m^3+5m^2-2m}{2}-\frac{4m^4-20m^3+35m^2-25m+6}{6}+ \right.\\&\\&\left. +\frac{m^4-6*m^3+13*m^2-12*m+4}{4}\right)=\\&\\&\frac{m^4-2m^3-m^2+2m}{24}\\&\\&\text{Y si está bien hecho será}\\&\\&Co(12,2) =\frac{12^4-2·12^3-12^2+2·12}{24}=715\\&\\&\text{Y la probabilidad será}\\&\\&P=\frac{715}{2^{12}}=\frac{715}{4096}=0.1745605469\end{align}$$Y esto ha sido muy difícil, no quiero pensar en las tres corridas, antes déjame que compruebe si está bien hecho este y si se puede hacer de otra forma con combinaciones con repeticion y principio de inclusión exclusión, pero todo ello dentro de unas horas.
La simplificación del sumatorio está bien hecha, he hechola cuenta con el sumatorio y da 715.
¡Gracias!
Y ahora de la otra forma.
Las dos corridas pueden determinar 3, 4 ó 5 grupos, escribiré solo un elemento de cada grupo pero puede repetirse varias veces
DBD
DBDB
BDBD
BDBDB
Mi primera intención era estudiar tres casos ya que el segundo y tercero son equivalentes, pero luego he pensado que a lo mejor solo hay que estudiar el cuarto caso y hacer de los anteriores casos particulares.
Entonces los m tubos se dividirán en 5 grupos y estará permitido que el primero y último valgan 0, pero 2º, 3º y 4º deberán valer más de cero.
Las formas de repartir n elementos en m contedores son
CR(m,n) = C(m+n-1, n)
Las formas de repartirlos en 5 contenedores son
CR(5,m) = C(m+4, m)=C(m+4,4)
Debemos quitar las formas que tienen 0 en el segundo, tercero o cuarto contenedor
Las formas de que haya un cero en un contenedor son
CR(4,m) = C(m+3, m)=C(m+3,3)
Como son tres contenedores quitaremos
3C(m+3,3)
Por el principio de inclusión-exclusión ahora debemos sumar las combinaciones de 3 tomados de 2 en 2 contenedores con 0 en los dos, que son
3CR(3,m)=3C(m+2,m)=3C(m+2,2)
y finalmente hay que restar la combinación de tres contenedores con 0 que es
CR(2,m)=C(m+1,m) =C(m+1,1) = m+1
Resumiendo, las cuentas serían
Co(m,2) = C(m+4,4) - 3C(m+3,3) + 3C(m+2,2) - (m+1) =
(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)/24 - 3(m+3)(m+2)(m+1)/6 + 3(m+2)(m+1)/2 + m+1 =
(m^4+10m^3+35m^2+50m+24)/24 - (3m^3+18m^2+33m+18)/6 + (3m^2+9m+6)/2 - (m+1) =
(m^4 - 2m^3 - m^2 + 2m)/24
·
Por supuesto que he usado el ordenador para hacer esas operaciones, no quiero ni volverme loco ni equivocarme.
Y como vemos el resultado es el mismo que con la otra forma de calcular, lo cual confirma la veracidad del resultado, que por si fuera poco es el mismo que se obtiene con este programa hecho con VisualStudio VisualBasic
Module Module1 Sub Main() Dim a(4096, 12) Dim i, j, k, ac, corridas, suma As Integer suma = 0 For i = 0 To 4095 For j = 0 To 11 : a(i, j) = 0 : Next k = i If k >= 2048 Then a(i, 0) = 1 : k = k - 2048 If k >= 1024 Then a(i, 1) = 1 : k = k - 1024 If k >= 512 Then a(i, 2) = 1 : k = k - 512 If k >= 256 Then a(i, 3) = 1 : k = k - 256 If k >= 128 Then a(i, 4) = 1 : k = k - 128 If k >= 64 Then a(i, 5) = 1 : k = k - 64 If k >= 32 Then a(i, 6) = 1 : k = k - 32 If k >= 16 Then a(i, 7) = 1 : k = k - 16 If k >= 8 Then a(i, 8) = 1 : k = k - 8 If k >= 4 Then a(i, 9) = 1 : k = k - 4 If k >= 2 Then a(i, 10) = 1 : k = k - 2 If k >= 1 Then a(i, 11) = 1 : k = k - 1 corridas = 0 ac = a(i, 0) : If ac = 1 Then corridas = 1 For j = 1 To 11 If a(i, j) <> ac Then ac = a(i, j) : If ac = 1 Then corridas = corridas + 1 End If Next If corridas = 2 Then suma = suma + 1 Next MsgBox(suma) End Sub End Module
Luego es definitivo en número de formas de hacer 2 corridas con m tubos es:
$$\begin{align}&Co(m,2)=\frac{m^4-2m^3-m^2+2m}{24}\\&\\&\text{Y la probabilidad es}\\&\\&P(2\;corridas)=\frac{m^4-2m^3-m^2+2m}{24·2^m}\\&\\&\text{Y para m=12 esto supone}\\&\\&Co(12,2)=715\\&\\&P(2\;corridas) = \frac {715}{4096}=0.1745605469\end{align}$$Y eso es todo, para los elementos con tres corridas hace falta otra pregunta. Yo cuando vi el ejercicio me quedé alucinando de como pueden mandar semejante trabajo y quedarse tan tranquilos.
