¿Existe alguna buena alternativa a Google Analytics?

Puedes usar Piwik que es un servicio de analítica web Open Source que puedes instalar en cualquier servidor que soporte PHP 5.3.3 o superior y MySql 4.1 o superior:

http://piwik.org/

Aquí puedes ver una demo: http://demo.piwik.org/ 

Parece que el código de tracking está un poco escondido en las preferencias (Preferences -> Tracking Code). Mira esta página de la ayuda a ver si resuelve tu duda: http://clicky.com/help/faq/common/tracking-code 

Por otro lado, si usas Wordpress o similar tienen plugins para que la configuración sea más sencilla: http://clicky.com/help/apps-plugins

Si necesitas una solución hosteada en otro servidor te recomiendo clicky.com que tiene una versión gratuita bastante buena.

Si te sirve un software para hostear en tu propio servidor te recomiendo piwik.org que es muy bueno y a la altura de Google Analytics.

STATS: Como ya te han sugerido, PIWIK es una de las mejores y más desarrolladas alternativas.
MAPA CLICKS: Respecto al mapa "de calor" de clicky, NO HACE FALTA, descarga ClickHeat que es para eso mismo, gratis y en tu servidor tambíen. No me apuesto nada, pero capaz que si miro en clicky estarán usando CLICKHEAT en su servidor y obteniendo gratis tu información, cosa muy común y que veo que a todo el mundo mola.
NOTA: Para un uso bueno de Piwik, tendrás que "al menos" descargar y configurar los datos de geoip.dat (Maxmind) y así te marque las conexiones también geográficamente, cosa que consiero BÁSICA E IMPRESCINDIBLE y por eso la menciono explícitamente. Desconozco que versión o si está actualizado al formato nuevo de geoLite2, pero a las malas con el anterior funciona bien.
Download Piwik: http://piwik.org/download/
Download geoLite.dat: http://dev.maxmind.com/geoip/legacy/geolite/ http://dev.maxmind.com/geoip/legacy/geolite/ 
Download geoLite2.dat: http://dev.maxmind.com/geoip/geoip2/geolite2/ http://dev.maxmind.com/geoip/geoip2/geolite2/ 
Download clickheat: http://sourceforge.net/projects/clickheat/