Anónimo
No entiendo como hacer sucesiones y series infinitas (matemáticas)
Resuelve mediante el criterio de comparación la siguiente serie, luego determina si la serie es divergente o convergente
∞
∑ (-1)^n / 3^n
n=0
1 Respuesta
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He dejado esta pregunta porque el enunciado no me parece correcto. El criterio de comparación que yo conozco solo serviría para series positivas, no para series alternadas, aunque se puede arreglar. Pero también pasa que el criterio de comparación no sirva para calcular una serie sino para determinar si converge o diverge, por lo que creo que el enunciado no está bien. ¿Podrías comprobarlo y escribir el enunciado exacto de la pregunta?
Buenas tardes envío el enunciado ojalá pueda ayudarme ya que no logro entenderlo, gracias.
Mediante el criterio de comparación, determina si la serie converge o diverge.
∞
∑ (-1)^n / 3^n
n=0
Primero usaremos un teorema que dice que si una serie es absolutamente convergente entonces es condicionalmente convergente. Luego en vez de demostrar la convergencia de esa serie vamos a demostrar la de 1/3^n que es la serie de los valores absolutos de la serie.
Ahora usaremos el criterio de comparación para series positivas. Si encontramos una serie cuyos términos (a partir de uno determinado, no hace falta que sea desde el principio) sean mayores y sea convergente, entonces la serie es convergente.
$$\begin{align}&Si \;0\le a_n \le b_n\quad \forall n\gt m\in N \implies\\&\\&i)\;b_n\, converge \implies a_n\, converge\\&ii)\;a_n\;diverge \implies b_n\;diverge\end{align}$$Y ahora viene la pregunta, ¿con qué serie comparamos? Si precisamente está es una serie geométrica con razón 1/3 que es menor que 1 y sabemos la fórmula de la suma. Más bien sería al contrario, esta serie serviría para comparar con otras más difíciles.
Bueno, pues la vamos a comparar con la serie 1/2^n ya que está es muy facíl de calcular sin saber nada de teoría.
Tenemos:
$$\begin{align}&0\lt \frac{1}{3^n}\lt \frac{1}{2^n}\quad \forall n \in \mathbb N\\&\\&\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{2^n}=1+\frac 12+\frac 14+\frac 18+...=2\\&\\&\text{ya que en todo momento se suma la mitad}\\&\text{de lo que falta para llegar a 2}\\&\\&\text{ Y como la serie mayor converge la menor también}\end{align}$$·
Y eso es todo.