La foto define perfectamente el problema que tienes. Veo dos paredes medianeras, la tuya y la de tu vecino. Que tal te llevas con el, lo digo porque el problema es de los dos, pero el suyo te afecta mas a ti que a el. Veo que a lo largo del recorrido de la escalera se marca humedad producida por el agua retenida en la escalera. Los motivos pueden ser un mal rejuntado, la ausencia de zócalo o que la pendiente de la pisa del escalón se decanta mas hacia tu lado. Ese problema te afecta a ti y es responsabilidad de el repararlo. Te puede decir que la pared es suya, pero esto no le exime de responsabilidad en el momento de que la filtración de su pared pasa a la tuya como es el caso.
Habla con el, si lo repara el coste corre por su parte y si no dirígete a urbanismo y denuncia el caso para que lo inspeccionen y obliguen a repararlo.
En tu pared falta algún tipo de vierteaguas con su respectivo zócalo que evite que el agua de la lluvia se acumule en la pared y produzca la humedad que se ve en la foto. Piensa que esa humedad puede ocasionar problemas al vecino y este también puede que tenga algo que decir. Lo mejor es que os pongáis de acuerdo de lo contrario mientras las paredes estén en esas condiciones malgastado el dinero que te utilices en productos para repararlo.
En el resto de pared parece ser como si la humedad subiera hacia arriba, pero no lo distingo bien. Ya me contaras como va todo, y si puedo ayudarte no dudes, yo encantado.