Cálculo de renta en progresión aritmética
Qué cantidad a día de hoy deberíamos depositar para dentro de 10 años y durante los 15 siguientes disfrutar de una renta a cobrar al final de cada año variable en progresión aritmética de razón 100 u.m y primer término 1.200 u.m a un tipo nominal anual del 4%.
1 Respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Ireth!
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El valor del depósito a los 10 años deberá ser igual al valor actual de una renta a 15 años como la que nos describen. Lo más complicado es buscar la fórmula de ese tipo de renta variable que es muy rara e irrecordable
$$\begin{align}&V_0=\left(a_1+\frac di+n\,d \right)\left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right)-\frac{n\,d}{i}\\&\\&\text{donde}\\&V_0=\text{Valor actual de la renta}\\&a_1= \text{primera cuota}\\&d=\text{diferencia entre cada termino de la sucesión}\\&n= \text{número de periodos}\\&i=\text{interés de cada periodo}\\&\\&V_0=\left(1200+\frac {100}{0.04}+15·100 \right)\left(\frac{1-1.04^{-15}}{0.04} \right)-\frac{15·100}{0.04}=\\&\\&(1200+2500+1500)·11.11838743-37500=20315,61463 \;u.m.\\&\end{align}$$Y ahora debemos depositar el dinero que dentro de 10 años valga esa cantidad
$$\begin{align}&C_0·1.04^{10}=20315,61463\\&\\&C_0=\frac{20315,61463}{1.04^{10}}=13724.50 \;u.m.\end{align}$$Y eso es todo.
Muchas gracias por su respuesta,
Tengo una duda, respecto al interés esta operando con el interés nominal, ¿no habría que calcular el tipo efectivo para poder operar?
$$\begin{align}&i = (1+ jm/m)^m -1 \end{align}$$
Hay que hacer cálculos cuando nos dan la tasa de interés para un periodo distinto del que se usará en la fórmula. Aquí nos dan la tasa de interés anual y como la renta se cobra anualmente la tasa que se usa en la fórmula es la anual, luego no hay que hacer ninguna cuenta el tipo efectivo coincide con el nominal.
Además si hay que hacer cuentas la primera es i = j/n sonde n es el número de periodos de capitalización que hay en el tiempo del interes nominal de j. Y si el tiempo de capitalización no coincidiese con el de debengos sería cuando se usaría la fórmula
i =(1+j/n)^m -1
Donde m es es número de periodos de capitalización que hay en el tiempo de devengos.
Ejemplos
Tasa anual 12% y se cobra a fin de cada año: tipo a emplear 0.12
Tasa anual 12% capitalizable mensualmente y se cobra cada mes: tipo a emplear 0.12/12 = 0.01
Tasa anual 12% capitalizable mensualmente y se cobra trimestralmente: tipo a emplear (1+0.12/12)^3 -1 = 0.030301
Tasa anual 12% capitalizable trimestralmente y se cobra cada mes: tipo a emplear (1+0.12/4)^(1/3)-1 = 0.00990163405
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Y eso es todo.
