Valores K para que los dos sistemas sean equivalentes? Álgebra analitica

Los dos sistemas serán equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Luego vamos a calular la(s) solución(es) del primero que no tiene la k. Las sumaremos

-x + 2y +  z = 4

 x +   y - 2z =-1

---------------------

       3y -z = 3

Si tomamos un parámetro t y hacemos t=z tendremos

3y - t = 3

3y = 3+t

y = 1 + t/3

x + 1 + t/3 -2t = -1

x = -t/3 + 2t -2 =5t/3 -2

Luego el conjunto solución será

S1={(5t/3-2, 1+t/3, t) | t perteneciente a R}

·

Y ahora calculemos el conjunto solución del otro sistema

      3y  - z   = 3

2x  -y + kz =-5

Si sumamos a la primera la segunda multiplicada por 3 tenemos

6x + (3k-1)z= -12

tomando como antes un parámetro s que asignamos a z tendremos

6x +(3k-1)s = -12

6x = -12 -(3k-1)s

x = -2 - (3k-1)s/6

Mientras que de la primera obtenemos

3y - s = 3

3y = 3+s

y = 1 + s/3

Y el conjunto solución es

S2={(-2-(3k-1)s/6,  1+s/3, s)  | s perteneciente a R}

Pondre aquí S1 para compararlos

S1={(5t/3-2, 1+t/3, t) | t perteneciente a R}

Por las formas de la componentes segunda y tercera haremos t=s, para que sean iguales, entonces igualando las primeras deberá ser

-2 - (3k-1)s/6 = 5s/3 -2

-(3k-1)s/6 = 5s/3

-(3k-1)/6 = 5/3

-(3k-1)/2 = 5

-(3k-1) = 10

3k-1 = -10

3k=-9

k=-3