Te he dado una pista sino es molestia comparte la resolución del problema

La fuerza gravitacional ejercida entre las estrellas es la misma:

$$\begin{align}&F_{12}=F_{21}=G\cfrac{m_{1}m_{2}}{d^{2}}\end{align}$$

Teniendo en cuenta que dicha fuerza es de tipo centrípeta y es la
Única fuerza actuante sobre cada una de las estrellas, aplicamos la
2ª Ley de Newton:

$$\begin{align}&G\cfrac{m_{1}m_{2}}{d^{2}}=m_{1}a_{c1}\Rightarrow G\cfrac{{m_{1}}m_{2}}{d^{2}}={m_{1}}\omega^{2}r_{1}\end{align}$$

$$\begin{align}&\cfrac{m_{1}m_{2}}{d^{2}}=m_{2}a_{c2}\Rightarrow G\cfrac{m_{1}{m_{2}}}{d^{2}}={m_{2}}\omega^{2}r_{2}\end{align}$$

Donde r1 y r2 son las distancias de m1 y m2 al centro de masas, respectivamente.

Dado que tienen el mismo periodo, la velocidad angular también
Será la misma para ambas estrellas.

Sumando ambas ecuaciones:

$$\begin{align}&G\cfrac{\left(m_{1}+m_{2}\right)}{d^{2}}=\omega^{2}\left(r_{1}+r_{2}\right)\end{align}$$

Dado que:

$$\begin{align}&\left(m_{1}+m_{2}\right)=4M_{S}\end{align}$$

Y:

$$\begin{align}&\left(r_{1}+r_{2}\right)=d\end{align}$$

Tenemos:

$$\begin{align}&\cfrac{G.4M_{S}}{d^{2}}=\omega^{2}d\end{align}$$

Sustituimos y despejamos:

$$\begin{align}&\cfrac{4GM_{S}}{d^{3}}=\cfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}\Rightarrow d^{3}=\cfrac{{4}GM_{S}T^{2}}{{4}\pi^{2}}\Rightarrow d=\left(\sqrt[3]{\cfrac{GM_{S}T^{2}}{\pi^{2}}}\right)\, m$\end{align}$$

Aquí participo del dibujo de jabiabelo abelo que esta aplicando para la resolución del problema.