Exprese la relación entre la matriz de dichaaplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

·

La matriz de una aplicación son las imágenes de la base puestas como columna

Tenemos

f(1,0) = (1, 1)

f(0,1) = (0, -1)

La matriz de la aplicación referida a la base canónica es:

    (1  0)
C = (1 -1)
                                   ·
Los valores propios son
|1-x   0 |
| 1  -1-x| = 0
                                   ·
(1-x)(1+x) = 0

Luego son 1 y -1.

Como son distintos la matriz es diagonalizable y la matriz de paso es la que tiene como columnas los vectores propios. Vamos a calcularlos

Para el valor propio 1
1-1  0   | 0
 1  -1-1 | 0
                            ·
0   0 | 0
1  -2 | 0
                            ·
x-2y=0
x=2y
tomando y=1 tendremos el vector propio
(2, 1)
                                    ·
Para el valor propio -1
1 +1   0  | 0
 1   -1+1 | 0
                                    ·
2  0 | 0
1  0 | 0
                                    ·
Eso es x=0 luego tomaremos
(0,1) como vector propio
                                    ·
La matriz de paso es
    (2 0)
P = (1  1)
                                    ·
Y su inversa es:
         ( 1/2  0)
P^(-1) = (-1/2  1) 
                                    ·
Luego la relación es
P^(-1)·C·P = D
                                    ·
(1/2  0) (1 0) (2 0) (1 0)
(-1/2 1) x (1 -1) x (1 1) = (0 -1)

Y eso es todo.