Como resolver ejercicio probabilidad con integración múltiple
Tengo los siguientes ejercicios pero no logro comprender que tengo que hacer. ¿Me podrían ayudar con uno de ellos? Pude ser cualquiera, o dos al menos, que yo trataría de hacer le resto pues son parecidos. Se los agradecería.
3 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Bladdy!
Para ver que es una función de densidad vemos que cumple a) inmediatamente porque es siempre positiva y vamos a comprobar b). Luego usaremos c) para calcular la probabilidad que nos piden.
$$\begin{align}&\int_0^5\int_0^2 \frac 1{10}dydx=\frac 1{10}\int_0^5\int_0^2 dydx=\\&\\&\frac 1{10}\int_0^5y\big|_0^2\;dx=\frac 1{10}\int_0^5(2-0)dx=\\&\\&\frac 1{10}\int_0^52dx=\frac 15\int_0^5dx=\\&\\&\frac 15x\big|_0^5=\frac 15·(5-0)=1\\&\\&\text{Luego es una función de densidad}\\&\\&---------------\\&\\&P(0\le x\le 2,\;1\le y\le 2)=\\&\\&\int_0^2\int_1^2 \frac 1{10}dydx=\frac 1{10}\int_0^2\int_1^2 dydx=\\&\\&\frac 1{10}\int_0^2y\bigg|_1^2\; dx=\frac 1{10}\int_0^2(2-1)\; dx=\\&\\&\frac 1{10}\int_0^2dx=\frac 1{10}·x\bigg|_0^2=\frac 1{10}·(2-0)= \frac 15\end{align}$$Y eso es todo, era fácil pero lleva su trabajo, debes mandar un ejercicio en cada pregunta.
Saludos.
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Respuesta
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Te agrego el 74.
$$\begin{align}&a) f(x,y) \ge 0 \forall x,y \text{ (Creo que es fácil de verlo, pero si tienes dudas avisa y lo vemos)}\\&b) \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx dy = \\&\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{4}xy\ dx dy = \\&\int_{0}^{2} \frac{1}{2}y\ dy = \frac{y^2}{4} \bigg |_0^2 = 1 \text{ (es función de densidad)}\\&c) \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{4}xy\ dx dy = \\& \int_{1}^{2} \frac{1}{8}y\ dy =\\&\frac{y^2}{16} \bigg|_1^2 = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16} \end{align}$$
Respuesta de Lucas m
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;)
Pues yo te haré la última y recuerda votar a todos los expertos
$$\begin{align}&e^{-x-y}=\frac{1}{e^{x+y}}>0\\&\\&\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dxdy=\\&\\&\int_{0}^{+ \infty} \Bigg[ \int_{0}^{+ \infty} e^{-x-y}dy \Bigg ]dx=\\&\\&\\&\int_{0}^{+ \infty} \Bigg [-e^{-x-y} \Bigg ]_0^{+ \infty} dx=\\&\\&\\&- \int_{0}^{+ \infty} \Bigg(e^{- \infty}-e^{-x} \Bigg )dx=\\&\\&-\int_{0}^{+ \infty} (0-e^{-x})dx= \\&\\&\int_{0}^{+ \infty} e^{-x}dx= \Bigg [-e^{-x} \Bigg ]_0^{+\infty}=-e^{- \infty}+e^0=0+1=1\\&\\&Si \ es \ función \ densidad\\&\\&c) P=\\&\int_{0}^{1} \Bigg [ \int_{x}^{1} e^{-x-y}\Bigg ]dydx =-\int_{0}^{1} \Bigg [e^{-x-y} \Bigg ]_x^1dx=\\&\\&=- \int_{0}^{1} \Bigg(e^{-x-1}-e^{-2x} \Bigg) dx=\\&\\&= \Bigg [-e^{-x-1}+\frac{e^{-2x}}{2} \Bigg]_1^0=-e^{-1}+\frac{1}{2}- \Big (-e^{-2}+\frac{e^{-2}}{2} \Big )=\\&\\&=-e^{-1}+\frac{1}{2}+\frac{e^{-2}}{2}=0.19978...\\&\end{align}$$Saludos
;)
;)