Para la función dada determine el respectivo dominio y rango

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¡Hola Oscar!

El dominio está restringido por dos condiciones, que el radicando raíz sea no negativo y que el denominador sea distinto de 0. Eso en la practica es una sola condición:

$$\begin{align}&x-8\gt 0\implies x\gt8\\&\\&Dom f=(8,\infty)\\&\\&\text{Y el rango es el dominio de la inversa,}\\&\text{se obtiene despejando x}\\&\\&y= \frac{x+9}{\sqrt{x-8}}\\&\\&y^2=\frac{x^2+18x+81}{x-8}\\&\\&xy^2-8y^2=x^2+18x+81\\&\\&x^2+(18-y^2)x+81+8y^2=0\\&\\&x=\frac{y^2-18\pm \sqrt{(18-y^2)^2-4(81+8y^2)}}{2}\\&\\&\text{Para que esté definida x debe ser}\\&\\&(18-y^2)^2-4(81+8y^2)\ge0\\&\\&y^4-36y^2+324-324-32y^2\ge 0\\&\\&y^4-68y^2\ge0\\&\\&y^2(y^2-68)\ge0\\&\\&y^2-68\ge0\\&\\&y^2\ge 68\\&\\&y\ge \sqrt {68}\\&\\&\text{Luego }Rango f=[\sqrt{68},\infty)\end{align}$$

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Hola oscar!

El dominio vendrá determinado por la raíz cuadrada del denominador, que no puede ser 0,

Y el radicando habrá de ser positivo:

$$\begin{align}&x-8>0\\&\\&x>8\\&Domf(x)=(8,+\infty)\\&\\&\end{align}$$

El rango es el dominio de la función inversa, teniendo en cuenta que el valor menor de x es 8

Función inversa:

Intercambiamos x por y

i despejamos y

$$\begin{align}&x=\frac{y+9}{\sqrt{y-8}}\\&\\&x \sqrt{y-8}=y +9\\&elevando  \  al  \ cuadrado\\&x^2(y-8)=(y+9)^2\\&x^2y-8x^2=y^2+18y+81\\&\\&Ecuación \ de ª segundo \grado \ en  \ y:\\&y^2+(18-x^2)y+(81+8x^2)=0\\&\\&la \ función \ inversa \ existe \ si \ el\ descriminate (\Delta)de \ esta \ecuación \ es \ positivo:\\&\Delta=b^2-4ac=(18-x^2)^2-4(81+8x^2)=324-36x^2+x^4-324-32x^2=\\&\\&x^4-68x^2>0\\&x^2(x^2-68)>0\\&\\&x^2>68\\&\\&\\&x> \sqrt {68}\\&\\&Rango=[\sqrt {68}, + \infty)\end{align}$$

comprobando:

Saludos

;)

;)