Encontrar el dominio y recorrido de la función f (x)=2x^2-3/x^2+2x+1

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Ho_la Anyara.

Efectivamente el dominio es todo R salvo (-1) ya que el denominador es

(x+1)^2 y la raíz es x=-1

Para calcular el recorrido habría que calcular el dominio de la función inversa, vamos a ver qué tal sale. Bueno, en realidad no hay que calcular la inversa, pero el proceso es el mismo, despejar x en función de y

$$\begin{align}&y=\frac{2x^2-3}{x^2+2x+1}\\&\\&yx^2+2yx+y=2x^2-3\\&\\&(y-2)x^2 +2yx +y+3=0\\&\\&x=\frac{-2y\pm \sqrt{4y^2-4(y-2)(y+3)}}{2(y-2)}=\\&\\&\frac{-2y\pm \sqrt{4y^2-4y^2-4y+24}}{2(y-2)}=\\&\\&\frac{-y\pm \sqrt{6-y}}{y-2}\\&\\&\text{y esto esta definido cuando}\\&6-y\ge0\\&y\le6\\&\text{Además debe ser } y\neq2\\&\\&\text{Luego el recorrioo (rango o imagen) de f es}\\&\\&Rango f=(-\infty,2)\cup (2,6]\end{align}$$

Siempre te queda la duda luego lo nejor es hacer la gráfica para comprobar si está bien.

Y la gráfica no puede confirmarte si la función toma el valor 2 o no, un solo punto no puede verse si está vació. Sabes que en 2 hay una asíntota vertical pero y cuando la función parece que es continua ¿pasa por y=2 o no pasa?

Pues por lo que hemos calculado no ya que si damos el valor y=2 el valor que sale para x en lo que hemos despejado es infinito, luego aunque parezca que la función toma el valor 2 no lo toma.

Y eso es todo.