Análisis dimensional ¿Como hallar estos valores?
Tengo este ejercicio que no se me ocurre como solucionar:
La fórmula del periodo de oscilación de sistema está dada por T= 2 Pi m^x K^y
Hallar los valores de "x" e "y" donde:
m= masa
K= constante que se mide en newton/metro
T= Tiempo
Pi= 3,14
Por ser un problema de análisis dimensional, crei que tal vez era un error de tipeo de profesor y pregunte si lo que habría que buscar es [x] e [y] . Pero me dijo que no, que hay que hallar los valores, y no se me ocurre como... ¿alguna idea?
2 respuestas
Yo lo vería así:
Si te dicen que el movimiento es periodico.....w= 2pi/ T = 2pi / 2pi ( m^x K^y)= 1/ m^x K^y
Como w=( K/m)^1/2............................( K/m)^1/2 = 1/ m^x K^y ........K/m = 1 / m^2x K^2y
(m^2x-1) ( K^2y+1) = 1 .........................Luego deberan ser.... m^2x-1 = 1 y K^2y+1 = 1
para lo cual ...........................2x-1= 0 y 2y+1= 0 ........................x= 1/2 e y= -1/2 .-
Primero que nada muchísimas gracias por tu ayuda. Pero todavía no logro comprender muy bien que es lo que haz hecho. ¿Qué es la w? Y te agradecería si pudieses más o menos explicar que pasos has seguido... Muchas gracias de nuevo!!
Simplemente asocie la expresión al movimiento armónico simple de una masa m suspendida de un resorte de constante K. Esto lo deduje de ver en que unidades te dieron m y K.
Luego, como sabrás, la pulsación del sistema libre masa-resorte es w=(K/m)^1/2 ... y siendo que te dan el periodo T = 2 Pi m^x K^y = 2pi/ w ... .. . de allí operas y te sale todo...
T = M^x · [K]^y
Como [K] = [F] / L
T = M^x · [F]^y · L^(-1·y)
T = M^x · F^y · L^(-y)
Como [F] = M · L · T^(-2), sustituyendo queda
T = M^x · M^y · L^y · T^(-2y) · L^(-y)
Agrupando,
T = M^(x+y) · L^(y-y) · T^(-2y)
T = M^(x+y) · T^(-2y)
Como las dimensiones del primer miembro son T^1, las del segundo han de ser también T^1, luego
x + y = 0
-2y = 1
Por tanto
y = -(1/2)
x = +(1/2)
Con lo que la fórmula dada ya se puede escribir en la forma
T = 2 · pi · m^(1/2) · k^(-1/2)
Que es la fórmula conocida para el periodo.