Cálculo de un porcentaje de éxito dados 2 porcentajes
Me gustaría saber como calcular lo siguiente para realizar un Excel con la fórmula.
Supongamos un partido de tenis donde jugador A tiene un 60% de puntos ganados al saque y jugador B un 40% de puntos ganados al resto. ¿Cómo podría calcular el % de que jugador A ganara el juego sacando y el % de que ganase B? Para ganar un juego hay que llegar a 4 puntos y que el rival haga o 0 o 1 o 2, en caso de que ambos lleguen a 3 puntos (40-40) la diferencia debe ser de 2 puntos para dar un ganador. Me puse a hacerlo manualmente punto a punto pero entiendo que hay alguna fórmula directa.
2 Respuestas
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¡Hola Truth!
Los resultados posibles sin jugar pelotas extra son:
i) Ganando el que sirve
(4,0) --> P = 0.60^4 = 0.1296
(4,1) -->P = 4 · 0.60^4 · 0.4 = 0.20736
(4,2) -->P = C(4,2) · 0.60^4 · 0.4^2 = 0.124416
Total = 0.461376
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Ganando el que resta
(0,4) --> P = 0.40^4 = 0.0256
(1,4) ---> P = 4 · 0.40^4 · 0.60 = 0.06144
(2,4) ---> P = C(4,2) · 0.40^4 · 0.60^2 = 0.055296
Total = 0.142336
Como ves aun queda bastante probabilidad, casi el 40% se decide con empate a tres y dos ventajas.
Las formas de llegar al empate a tres son C(6,3) = 6·5·4/3! = 20
(5,3) -->P = 20 · 0.6^3 · 0.4^3 · 0.6^2 = 0.27648 · 0.36 = 0.0995328
(3,5) -->P = 0.27648 · 0.4^2 = 0.0442368
Si empatan a 4 ha habido un punto de cada uno tres el empate a tres.
La probabilidad de llegar ahí ha sido:
0.27648 · 0.6 · 0.4 = 0.0663552
(6,4) ---> P = 0.0663552 · 0.6^2 = 0.023887872
(4, 6) ---> P = 0.0663552 · 0.4^2 = 0.010616832
Y si empatan a 5 la probabilidad de llegar ha sido
0.0663552 · 0.6 · 0.4 = 0.015925248
Y volveríamos a calcular haste el infinito.
No es necesario, nos damos cuenta que desde que empezamos con los empates y hasta el infinito la proporción entre los que gana el que sirve y el que resta es 0.6^2 a 0.4^2, 0.36 a 0.16, 9 a 4
Luego la probabilidad que quedaba a dilucidar en empates la respartiremos con esa proporción.
1 - (0.461376 + 0.142336) = 0.396288
Para el que sirve será
(9/13) · 0.396288 = 0.2743532308
Y para el que resta
(4/13) · 0.396288 = 0.1219347692
Con lo cual las probabilidades totales son:
Probabilidad de ganar el que sirve =
0.461376 + 0.2743532308 = 0.7357292308
Probabilidad de ganar el que resta =
0.142336 + 0.1219347692 = 0.2642707692
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Pues me equivoqué, ahora me he dado cuenta.
Está claro que un resultado 4-0 ó 0-4 solo se da de una forma, eso estaba bien.
Un resultado 4-1 ó 1-4 se puede dar de 4 formas, ya que entre los cuatro primeros puntos habrá 3 del que gana y 1 del que pierde, el punto del que pierde puede estar en 4 posiciones y por eso hay cuatro formas. Esa parte también estaba bien calculada.
Pero un resultado 4-2 ó 2-4 no es como lo calculé. Entre los 5 primeros puntos tiene que haber 3 del que gana y 2 del que pierde, por lo cual el número de formas es combinaciones de 5 tomadas de 3 en 3 o tomadas de 2 en 2 que es lo mismo, asi que hacíéndolo de nuevo tendremos:
Los resultados posibles sin jugar pelotas extra son:
i) Ganando el que sirve
(4,0) --> P = 0.60^4 = 0.1296
(4,1) -->P = 4 · 0.60^4 · 0.4 = 0.20736
(4,2) -->P = C(5,2) · 0.60^4 · 0.4^2 = 0.20736
Total = 0.54432
Ganando el que resta
(0,4) --> P = 0.40^4 = 0.0256
(1,4) ---> P = 4 · 0.40^4 · 0.60 = 0.06144
(2,4) ---> P = C(5,2) · 0.40^4 · 0.60^2 = 0.09216
Total = 0.1792
Luego la probabiliad de ganar sin que haya habido empates es
0.54432 + 0.1792 = 0.72352
y la probabilidad de empate a 3 será
1 - 0.72352 = 0.27648
Podemos comprobar que es esa de otra manera. Las formas de empatar a tres son C(6,3) = 20
Y su probabilidad será
20 · 0.6^3 · 0.4^3 = 0.27648
esto sirve para afianzar que la primera parte está bien hecha.
Siempre que se empate, ya sea a 3, a 4, a 5 lo que sea, la probabilidad de terminar ganando el que sirve será la de hacer dos puntos seguidos
0.6^2 = 0.36
y la de que gane el que resta es
0.4^2 = 0.16
Luego dada una situación de empate la probabilidad de ganar el que sirve es
0.36 / (0.36+0.16) = 9/13
y el que resta
1-9/13 = 4/13
Aplicando esta proporción a la que había de empatar la probabilidad de que gane el que sirve cuando ha habido empate(o empates) es
9/13 de 0.27648 = 0.19140923
y la del que resta es
4/13 de 0.27648 = 0.08507077
Sumamos estas probabilidades a las anteriores y tendremos:
Probabilidad de ganar el que sirve =
0.54432 + 0.19140923 = 0.73572923
Probabilidad del que resta =
0.1792 + 0.08507077 = 0.26427077
Podríamos habernos ahorrado cuentas calculando solo la probabilidad de ganar el que sirve y la que faltaba para llegar a 1 sería la del que resta, pero así es más fácil comprobar que se está haciendo bien.
Y eso es todo, perdón por el fallo inicial.
Sa lu dos.
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Muchísimas gracias por esta explicación por un lado muy interesante, y pero por el otro complicada para mí. ¿Hay también páginas en la red que ofrecen cálculos de este tipo?