¿Cómo resolver este problema de gravitación? Nivel pre
Se muestran dos estrellas de misma masa que giran en órbitas circunferenciales de igual radio con respecto a su centro de masa. Si la rapidez de cada estrella es de 220km/s y su periodo es 14.4 días, hallar el valor de la masa.
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Respuesta de antoniomallo
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Sobre las estrellas sólo actúa la mutua atracción gravitatoria y giran en órbitas circulares con módulo de la velocidad constante. Es decir, se mueven con aceleración tangencial nula; toda la aceleración es centrípeta y vale v^2/R.
$$\begin{align}&\text {La fuerza de gravitación que actúa sobre una cualquiera de las estrellas es}\\&\\&F=G \frac{M·M}{R^2}\\&\\&\text{La fuerza es igual a la masa por la aceleración, que en este caso es centrípeta:}\\&\\&G \frac{M·M}{R^2}=M \frac{v^2}{R}\\&\\&\text{Simplificando queda}\\&\\&\frac {GM}{R}=v^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [1]\\&\\&\text {El período T se relaciona con la velocidad v a través de la velocidad angular }\omega\\&\\&\omega=\frac{2\pi}{T}\\&\\&v=\omega·R\\&\\&\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{v}{R}\\&\\&R=\frac {vT}{2\pi}\\&\\&\text {Sustituyendo el valor de R en la ecuación [1] queda}\\&\\&\frac{GM}{\frac{vT}{2\pi}}=v^2\\&\\&\text {Despejando M tenemos}\\&\\&M=\frac{v^3T}{2\pi G}=\frac{220^3·14,4·24·3600}{2\pi · 6,67·10^{-11}}=3,16·10^{31}\ kg\end{align}$$
El problema lo he resuelto considerando una de las estrellas fijas, y el observador en ella. En este sistema de referencia la otra estrella describe una circunferencia con centro en la primera.
