Buscar Base del espacio nulo de T y base para la imagen T
Sea T(x,y,z) =( 3x-y+z, 2x+y-z , x-2y+2z) un operador lineal definido en R^3
·
·
¡Hola Andreina!
El espacio nulo son los vectores cuya imagen es el vector nulo, luego debe cumplirse
( 3x-y+z, 2x+y-z , x-2y+2z) = (0,0,0)
lo cual son tres ecuaciones
3x-y+z = 0
2x+y-z = 0
x-2y+2z = 0
Vemos que sumando primera y segunda se simplifica mucho
5x = 0
x=0
Con lo cual segunda y tercera quedan
y-z=0
-2y+2z = 0
que son dos ecuaciones equivalentes luego solo sirve una
La solución entonces es
x=0
y=z
son dos condiciones, la dimensión del espacio nulo es 3-2=1
Luego un solo vector será la base, tomemos uno cualquiera que cumpla esas dos condiciones, lo normal será tomar
B= {(0, 1, 1)}
Si tomamos los tres vectores de la base canónica y hallamos sus imágenes y luego rechazamos uno de ellos (ya que la dimensión del conjunto imagen es 2 por ser el núcleo de dimensión 1) tendremos la base de la imagen.
Luego tomamos (1,0,0) y (0,1,0)
T(1,0,0) = (3, 2, 1)
T(0,1,0) = (-1, 1, -2)
Y esa es la base:
B={(3, 2, 1), (-1, 1, -2)}
Y eso es todo, saludos.
:
.
1 respuesta más de otro experto
;)
Hola Andreina!
Se llama espacio nulo, o núcleo de la transformación lineal, o KerT al conjunto de vectores del conjunto de salidaR3, tal que su imagen es el vector nulo(0,0,0)
Luego
3x-y+z=0
2x+y-z=0
x-2y+2z=0
resolviendo el sistema: sumando las dos primeras ===> 5x=0 ==> x=0
sustituyendo en las dos últimas:
-y+z=0 ===> y = z
-2y+2z=0===> y=z
El núcleo está formado por los vectores tipo (0,y,y).
Como solo depende de un parámetro dim Ker T= 1 (dimensión del núcleo)
Base del núcleo y=1 ===> (0,1,1)
Por la ecuación de la dimensión, sabemos que la dimensión del conjunto de salida(R3) es igual a la dimensión del Núcleo + dim Imagen:
3=dimKerT+dim Im
3=1+dim Im
dim Im T=3-1=2
Haciendo la transformación de dos vectores de la base de R3, tenemos una base de la Imagen:
(1,0,0) ===> T(1,0,0)=(3,2,1)
(0,1,0) ===> T(0,1,0)=(-1,1,-2)
Luego una base de la imagen de T son {(3,2,1),(-1,1,-2)}
Saludos
;)
;)