Interés sobre cobrar el desempleo

He estado trabajando en una emporesa durante 6 meses en un contrato de sustitución, al finalizarlo me contrataron por periodos de 6 meses hasta completar un año mas ( osea en total un año y medio). La empresa en esta ocasión me propone que debo estar un mes y medio sin trabajar para poder contratarme de nuevo. Mi pregunta es la siguiente, ¿Me interesa coger el paro durante este mes y medio? ¿Podria no cogerlo y seguir acumulando tiempo de los nuevos contratos? ¿Me tengo que inscribir como demandante de empleo durante este periodo? ¿Tengo cobertura sanitaria durante este periodo si no estoy en el paro?