¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?

Puedes hacer uso del criterio de la razón, entonces,

$$\begin{align}&\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{x^{n}}{\sqrt{n}}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}}\frac{\sqrt{n}}{x^{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{|x|\left|\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right|}=|x|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right|}\\&\\&...=|x|\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n+1}}=|x|(1)=|x|<1\\&\\&\end{align}$$

si hacemos que todo eso sea extrictamente menor que uno, garantizamos que la serie converge absolutamente...entonces,

$$\begin{align}&|x|<1\hspace{5mm}\textrm{es equivalente: }\hspace{5mm} -1< x<1\end{align}$$

listo entonces el raido de convergencia es de 1, y si queremos saber el intervalo de convergencia, debemos analizar, que sucede con la serie justo en los puntos de intersección de la bola es decir -1 y 1, entonces

$$\begin{align}&Para:x=1\\&\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1^{n}}{\sqrt{n}}}\\&\textrm{si analizamos éste límite te vas a dar cuenta que es divergente, ahora veamos }\\&\\&Para:x=-1\\&\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}}\\&\textrm{si analizamos éste límite te vas a dar cuenta que es convergente}\\&\\&\end{align}$$

verificar esos límites te queda de tarea...tienes que hallar el límite cuando n tiende al infinito...y bueno, eso sería todo...entonces el intervalo de convergencia, sería,

$$\begin{align}&I:[-1,1)\end{align}$$

La respuesta es la c