Cómo evitar que la pérgola de madera exterior me manche la fachada de marrón

Tengo unos troncos de madera en el exterior que forman una especie de pérgola. Nunca los he barnizado ni les he puesto ningún tratamiento. Cuando llueve mucho, deja un chorretón marrón en la pared. El tema es que quiero pintar este verano la fachada de blanco y creo que debo empezar por la madera para evitar que me manche las paredes cuando llueva. He leído sobre varios productos para la madera (lasur, aceite de linaza, barnices...), pero no sé qué será mejor para esto. No se trata de madera de exterior tipo teca, sino de troncos.