I. Hola Pablo, por mi parte no encuentro ninguna aplicación que agrupe ambas funciones aunque diría que debe existir, he visto algunas aproximaciones mientras buscaba, a ver si llegan más respuestas.
Opciones Chat
http://www.escuela20.com/herramientas-aplicaciones-software/recursos-tic/herramientas-20_289_1_ap.html
http://blogs.redalumnos.com/f97d3ecbff5c406c/Como-usar-chat-para-ensenanza
http://www.dinantia.com/es/
http://sevilla.abc.es/mobility/noticia/apple/noticias/triviapad-el-trivial-multijugador-ya-esta-disponible-en-la-app-store/
Programas trivial educativos
http://www.educaciontrespuntocero.com/noticias/trivinet-com-para-crear-un-trivial-colaborativo/9273.html
https://www.trisocial.com/galeria-aplicaciones-facebook/aplicacion-quiz-facebook/
https://ineverycrea.net/comunidad/ineverycrea/recurso/trivinet-trivial-educativo-online/81eea663-fdab-4678-8466-3d5608eb59c4
http://www.mystudiyo.com/
https://hipertextual.com/2017/03/crear-tus-propios-juegos-de-preguntas-y-respuestas
https://docs.moodle.org/all/es/Generador_en_l%C3%ADnea_de_preguntas_tipo_CLOZE
http://www.testeando.es/
http://www.20minutos.es/noticia/2927283/0/quadrivia-app-trivial-universitarios-uoc/