Justa causa podría ser por causas organizativas. Por ejemplo, que el horario elegido para la reducción afectara gravemente a la peluquería. Es decir, la ley te concede el derecho a elegir el horario, pero no es un derecho que puedas ejercitar de manera absoluta aunque sea por el cuidado de hijos. Ahora bien, los jueces siempre suelen tener en cuenta el bien del menor, así que tu jefe o jefa tendría que justificar muy bien la causa de su denegación.
En cuanto a la carta te la tendría que haber firmado y sellado para dejar constancia de la comunicación. Pero tampoco está obligado/-a a ello. Así que si ves que no está por la labor puedes enviarle un burofax. De esa manera podrás probar que has realizado la comunicación y te servirá en caso de juicio.
En caso de que no te dijera nada sobre la reducción puedes presentar demanda ante el Juzgado de lo Social. Se trata de un procedimiento rápido. Pero es importante que sigas en tu puesto de trabajo hasta que se resuelva el asunto.