Demuestre que ||{(an)}||S=sup{‖(an )‖(R^2 ); n∈N}, es una norma en S

Espacios vectoriales normas, distancias y topología

Sea el conjunto de sucesiones contenidas en el plano, que convergen al origen:

$$\begin{align}&S=[[(a_n)]⊂R^2│lim(n→∞) (a_n )=0]\end{align}$$

Considérese el espacio vectorial S con la suma de sucesiones y el producto de un real por una sucesión, es un espacio vectorial.

Para cualesquier sucesión [a_n] en S, se define:

$$\begin{align}&||[(a_n )]||_S=sup[‖(a_n )‖_(R^2); n∈N]\end{align}$$

Donde ||[a_n]||_(R^2) es la norma usual en R^2.

1. Demuestre que ||[(a_n )]||_S=sup[‖(a_n )‖_(R^2 ); n∈N], es una norma en S.
2. Dar la métrica inducida por la norma del inciso a, y demostrar que efectivamente es una métrica en S