Determine cuáles de las siguientes afirmaciones es falsa y cuál es verdadera.

Sucesiones

Sea V un espacio métrico cualquiera, con cualquier métrica d. Considere {an}, {bn} cualesquiera dos sucesiones en V.

Determine cuáles de las siguientes afirmaciones es falsa y cuál es verdadera.
En caso de decir “falsa” dar un ejemplo que lo muestre; y, en caso de decir “verdadera”, demostrar la afirmación.
1. Si {an} tiene un único punto límite p, entonces converge a p.

2. Si existe una subsucesión {ank} (de {an}) que converge a p, entonces p es punto de acumulación de {an}.

3. Si p es punto de acumulación de {an}, entonces existe una subsucesión {ank} (de {an}) que converge a p.

4. Si {an} es una sucesión de Cauchy y tiene un punto límite p, entonces {an} converge a p.

5. Si d({an},{bn}) converge a cero, entonces {an} y {bn} convergen y convergen a un mismo L en V.

6. Si d({an},{bn}) converge a cero, entones {an} y {bn} son ambas sucesiones de Cauchy