Convección cámara de aire en chimenea

En la casa que hemos comprado recientemente, dispone de una chimenea, un casete dentro de un hogar de ladrillo.

Se trata de una chimenea "cuadrada" y esta instalada en una esquina del comedor, por lo que hay un hueco bastante grande detrás de ella que hace de cámara de aire.

En el pladur que va hasta el techo, en un lado en la parte baja (por encima de la chimenea) hay una rejilla, y en el otro lado, cerca del techo otra rejilla.

Esta ultima rejilla, también se encuentra pegada la pared.

Quizás en la siguiente imagen se me entienda mejor https://pasteboard.co/GWFrUBo.png

Mi pregunta es si me puedo beneficiar del calor acumulado en esa "camara de aire" que hay detras de la chimenea, en la habitacion contigua (pared gris en el dibujo), haciendo un agujero en la pared para sacar el calor con un ventilador (turbina, extractor... Etc.) o que ideas me podeis dar para sacarle mayor rendimiento.