¿Que pasa con el dinero de las cuentas bancarias cuando uno de los dos titulares fallece?

Somo un matrimonio ya pensionistas y tenemos una duda y es la siguiente: ¿Teniendo todo en el banco a nombre de los dos indistintamente, cuando uno de los dos fallezca el otro podrá seguir utilizando el dinero como antes, o si el banco retendría la parte del fallecido?.