¿Tendría que decirles a mis padres si me empadrono con mi pareja en otro municipio? ¿Les afectaría en algo legal?

Efectivamente, esto puede ser importante para la declaración de la renta, al considerarse que ya no es su domicilio habitual el de sus padres, y por lo tanto, no forma parte de la unidad familiar para el calculo de la declaración de RENTA.

Tu puedes perfectamente darte de baja en el padrón de tu municipio y darte de alta en otro, aunque sigas viviendo en casa de tus padres. Pero ellos de alguna manera se van a enterar; por ejemplo al pedir un certificado de residencia. Pero hay otro detalle por el que se van a enterar, y es por su declaración del IRPF pues si no te sacan ¿cómo vas tu a cambiar tu domicilio fiscal? Creo que deberias decírselo a tus padres de una vez, sin embudos.